Экономическая задача

По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года. По вкладу «Б» банк увеличивает сумму на 22% в конце каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад останется выгоднее вклада «А».

Источник: Банк ЕГЭ

15 января Алексей планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1,5 млн. рублей. Условия его возврата следующие:

— 1 -го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r   — целое число;

— выплата должна производиться ежемесячно в период со 2 -го по 14 -е число каждого месяца;

— 15 -го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение r , при котором Алексею в общей сумме придётся выплатить больше 2,2 млн рублей.

Источник: ЕГЭ – 2021. Досрочная волна.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн. рублей, где S   — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S , при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн. рублей.

Источник: ЕГЭ – 2019. Досрочная волна.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 400000 рублей. Известно, что банк каждый год увеличивает сумму кредита на r %, после чего происходит платеж. Кредит был полностью выплачен за 2 года. Найдите r , если первый платеж составил 330000 рублей, а второй 121000 рублей.

Источник: ЕГЭ – 2020. Основная волна.

В июле 2027 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2033, 2034, 2035, 2036 и 2037 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2037 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2400 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2029 году?

Источник: Сборник И.В. Ященко 2026. Вариант 21.

Был открыт вклад на сумму $100$ миллионов рублей сроком на $3$ года. В конце каждого года банк увеличивает находящуюся на вкладе сумму на $10\%$. Кроме того, в начале каждого года, начиная со второго, вклад пополняется на $20$ миллионов рублей. Определите сумму, которая будет находиться на вкладе к концу третьего года. Ответ дайте в миллионах рублей.

Был открыт вклад на сумму $80$ миллионов рублей сроком на $3$ года. В конце каждого года банк увеличивает находящуюся на вкладе сумму на $20\%$. Кроме того, в начале каждого года, начиная со второго, вклад пополняется на $5$ миллионов рублей. Определите сумму, которая будет находиться на вкладе к концу третьего года. Ответ дайте в миллионах рублей.

При открытии вклада на сумму $500$ тысяч рублей сроком на $3$ года банк предлагает два варианта. Первый вариант — фиксированная ставка $12\%$ годовых на весь срок. При втором варианте ставка в первый год составляет $10\%$ годовых, а каждый следующий год увеличивается на $2$ процентных пункта. Определите, при выборе какого варианта к концу третьего года сумма на вкладе окажется большей. В ответе укажите разницу между суммами вкладов к концу третьего года в рублях.

При открытии вклада на сумму $1000$ тысяч рублей сроком на $3$ года банк предлагает два варианта. Первый вариант — фиксированная ставка $8\%$ годовых на весь срок. При втором варианте ставка в первый год составляет $6\%$ годовых, а каждый следующий год увеличивается на $2$ процентных пункта. Определите, при выборе какого варианта к концу третьего года сумма на вкладе окажется большей. В ответе укажите разницу между суммами вкладов к концу третьего года в рублях.

12 января был выдан кредит. В таблице представлен график его погашения. Долг указан в процентах от первоначальной суммы кредита непосредственно после очередного платежа.

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивается на $4\%$. Выплаты по погашению кредита производятся в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше первоначальной суммы кредита?

5 января был выдан кредит. В таблице представлен график его погашения. Долг указан в процентах от первоначальной суммы кредита непосредственно после очередного платежа.

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивается на $6\%$. Выплаты по погашению кредита производятся в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше первоначальной суммы кредита?

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ миллионов рублей сроком на $12$ лет. Условия возврата кредита таковы:

• каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку $r$, если известно, что последний платёж будет не менее $0{,}575$ миллиона рублей.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $8$ миллионов рублей сроком на $8$ лет. Условия возврата кредита таковы:

• каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку $r$, если известно, что последний платёж будет не менее $1{,}18$ миллиона рублей.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $300\,000$ рублей. Условия возврата кредита таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите $r$, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено $180\,000$ рублей, а во второй год — $216\,000$ рублей.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $500\,000$ рублей. Условия возврата кредита таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите $r$, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено $300\,000$ рублей, а во второй год — $455\,000$ рублей.

В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этому счёту таковы:

— 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт $488\,000$ рублей;

— 30 июня сумма на счёте увеличивается на $25\%$ по сравнению с суммой, находящейся на счёте 29 июня;

— 1 июля 2027, 2028, 2029 годов Андрей снимает со счёта одну и ту же фиксированную сумму;

— 1 июля 2029 года на счёте не должно остаться денег.

Найдите сумму, которую должен будет снимать со счёта Андрей каждый год.

В июле планируется открыть вклад в банке под $25\%$ годовых на некоторую сумму. В начале $2, 3 и 4$ годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исходную сумму вклада, если после третьего снятия на вкладе осталось 0 рублей, а всего было снято 375 000 рублей.

В июле планируется открыть вклад в банке под $20\%$ годовых на некоторую сумму. В начале $2, 3 и 4$ годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исходную сумму вклада, если после третьего снятия на вкладе осталось 0 рублей, а всего было снято 518 400 рублей

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере $S$ тыс.рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $30\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным $S$ тыс. рублей;

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс.рублей;

— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Зависимость количества $Q$ (в шт., $0 \leq Q \leq 15000$) купленного у фирмы товара от цены $P$ (в руб. за шт.) выражается формулой
$$Q = 15000 - P.$$
Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $3000Q + 1000000$ рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог $t$ рублей ($0 < t < 10000$) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $PQ - 3000Q - 1000000 - tQ$ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна $tQ$ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении $t$ общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Зависимость количества $Q$ (в шт., $0 \leq Q \leq 15000$) купленного у фирмы товара от цены $P$ (в руб. за шт.) выражается формулой
$$Q = 15000 - P.$$
Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $3000Q + 1000000$ рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог $t$ рублей ($0 < t < 10000$) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $PQ - 3000Q - 1000000 - tQ$ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна $tQ$ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении $t$ общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Зависимость количества $Q$ (в шт., $0 \leq Q \leq 20000$) купленного у фирмы товара от цены $P$ (в руб. за шт.) выражается формулой
$$Q = 20000 - P.$$
Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $6000Q + 4000000$ рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог $t$ рублей ($0 < t < 10000$) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $PQ - 6000Q - 4000000 - tQ$ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна $tQ$ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении $t$ общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 6 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 3$\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

— 15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

— к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

— 15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

— к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно $r$, если общая сумма платежей в 2027 году составила 7830 тысяч рублей?

В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этому счёту таковы:

— 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт $819\,000$ рублей;

— 30 июня сумма на счёте увеличивается на $20\%$ по сравнению с суммой, находящейся на счёте 29 июня;

— 1 июля 2027, 2028, 2029 годов Андрей снимает со счёта одну и ту же фиксированную сумму;

— 1 июля 2029 года на счёте не должно остаться денег.

Найдите сумму, которую должен будет снимать со счёта Андрей каждый год.

15 декабря 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 6 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 3$\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

— 15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

— к 15 декабря 2027 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство $х$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5x^2 + 2x + 6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $р$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px - (0,5x^2 + 2x + 6)$ Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство $х$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5x^2 + 2x + 6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $р$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px - (0,5x^2 + 2x + 6)$. В первый год после постройки завода цена продукции p = 10 тысяч рублей за единицу. Каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тысячу рублей за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?

Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство $х$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5x^2 + x + 7$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $р$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px - (0,5x^2 + x + 7)$ Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не более, чем за 4 года?

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на $2\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

— 15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

— к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равна общая сумма платежей в 2027 году.