Тип 13 № 20963

Решение

Пусть $S = 488\,000$ рублей — начальная сумма вклада, $x$ — сумма, которую ежегодно снимают со счёта, а $k = 1 + \dfrac{25}{100} = \dfrac{5}{4}$ — коэффициент увеличения вклада.

Составим модель уменьшения суммы вклада после трёх снятий:

$$\bigl((S\cdot k - x)\cdot k - x\bigr)\cdot k - x = 0.$$

Раскроем скобки и выразим $x$:

$$S k^3 - x k^2 - x k - x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad S k^3 = x(k^2 + k + 1) \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac{S k^3}{k^2 + k + 1}.$$

Подставим числовые значения:

$$k = \frac{5}{4},\qquad k^2 = \frac{25}{16},\qquad k^3 = \frac{125}{64},\qquad k^2 + k + 1 = \frac{25}{16} + \frac{5}{4} + 1 = \frac{25 + 20 + 16}{16} = \frac{61}{16}.$$

Тогда

$$x = \frac{488\,000 \cdot \dfrac{125}{64}}{\dfrac{61}{16}} = 488\,000 \cdot \frac{125}{64} \cdot \frac{16}{61} = 488\,000 \cdot \frac{125}{4 \cdot 61} = \frac{488\,000}{4} \cdot \frac{125}{61} = 122\,000 \cdot \frac{125}{61}.$$

Так как $122\,000 : 61 = 2\,000$, получаем

$$x = 2\,000 \cdot 125 = 250\,000.$$

Ответ: $250\,000$.