Тип 13 № 21002

Решение

Пусть $S$ --- начальная сумма вклада, $x$ --- сумма, которую ежегодно снимали со вклада, а $k = 1 + \dfrac{20}{100} = \dfrac{6}{5}$ --- коэффициент увеличения вклада. Составим модель уменьшения суммы вклада:

$$((S\cdot k - x)\cdot k - x)\cdot k - x = 0.$$

Выразим $S$:

$$Sk^3 - xk^2 - xk - x = 0 \quad\Leftrightarrow\quad S = \frac{x(k^2 + k + 1)}{k^3}.$$

Так как в сумме сняли $3x = 518\,400$, то $x = 172\,800$.

Тогда:

$$S = \frac{172\,800 \cdot \left(\left(\frac{6}{5}\right)^2 + \frac{6}{5} + 1\right)}{\left(\frac{6}{5}\right)^3}.$$

Вычислим отдельно:

$$\left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}, \qquad \frac{6}{5} = \frac{30}{25}, \qquad 1 = \frac{25}{25},$$ $$\frac{36}{25} + \frac{30}{25} + \frac{25}{25} = \frac{91}{25}, \qquad \left(\frac{6}{5}\right)^3 = \frac{216}{125}.$$

Тогда

$$S = 172\,800 \cdot \frac{\frac{91}{25}}{\frac{216}{125}} = 172\,800 \cdot \frac{91}{25} \cdot \frac{125}{216} = 172\,800 \cdot \frac{91 \cdot 5}{216}.$$

Так как $172\,800 : 216 = 800$, то

$$S = 800 \cdot 91 \cdot 5 = 800 \cdot 455 = 364\,000.$$

Ответ: $364\,000$.