Тип 13 № 22607

Решение

Пусть $S = 819\,000$ рублей — начальная сумма вклада, $x$ — сумма, которую ежегодно снимают со счёта, а $k = 1 + \dfrac{20}{100} = \dfrac{6}{5}$ — коэффициент увеличения вклада.

Составим модель уменьшения суммы вклада после трёх снятий:

$$\bigl((S\cdot k - x)\cdot k - x\bigr)\cdot k - x = 0.$$

Раскроем скобки и выразим $x$:

$$S k^3 - x k^2 - x k - x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad S k^3 = x(k^2 + k + 1) \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac{S k^3}{k^2 + k + 1}.$$

Подставим числовые значения:

$$k = \frac{6}{5},\qquad k^2 = \frac{36}{25},\qquad k^3 = \frac{216}{125},\qquad k^2 + k + 1 = \frac{36}{25} + \frac{6}{5} + 1 = \frac{36 + 30 + 25}{25} = \frac{91}{25}.$$

Тогда

$$x = \frac{819\,000 \cdot \dfrac{216}{125}}{\dfrac{91}{25}} = 819\,000 \cdot \frac{216}{125} \cdot \frac{25}{91} = 819\,000 \cdot \frac{216}{5 \cdot 91}.$$

Так как $819\,000 : 455 = 1800$ (поскольку $455 \cdot 1800 = 819\,000$), получаем

$$x = 1800 \cdot 216 = 388\,800.$$

Ответ: $388\,800$ рублей.