Тип 13 № 21095

Решение:

Выразим цену $P$ через количество товара $Q$ из формулы спроса: $$P = 15000 - Q.$$

Тогда прибыль фирмы $\Pi(Q)$ (в рублях) равна: $$\Pi(Q) = PQ - 3000Q - 1000000 - tQ.$$

Подставим $P = 15000 - Q$: $$\Pi(Q) = (15000 - Q)Q - 3000Q - 1000000 - tQ.$$

Раскроем скобки и приведём подобные: $$\Pi(Q) = 15000Q - Q^2 - 3000Q - 1000000 - tQ = (12000 - t)Q - Q^2 - 1000000.$$

Получили квадратичную функцию относительно $Q$: $$\Pi(Q) = -Q^2 + (12000 - t)Q - 1000000.$$

Коэффициент при $Q^2$ отрицателен ($-1$), значит, ветви параболы направлены вниз, и функция имеет максимум в вершине. Абсцисса вершины: $$Q_{\text{max}} = -\frac{12000 - t}{2 \cdot (-1)} = 6000 - \frac{t}{2}.$$

При этом значении $Q$ прибыль фирмы максимальна (это значение лежит в допустимом диапазоне $0 \le Q \le 15000$, так как $0 < t < 10000$).

Теперь найдём общую сумму налогов $N(t)$, собранных государством: $$N(t) = tQ = t\left(6000 - \frac{t}{2}\right) = 6000t - \frac{t^2}{2}.$$

Это также квадратичная функция от $t$ с отрицательным коэффициентом при $t^2$, значит, она достигает максимума в вершине: $$t_{\text{max}} = -\frac{6000}{2 \cdot \left(-\frac12\right)} = 6000.$$

Следовательно, именно при этом значении налога общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной.

Ответ: $6000$.