Числа и их свойства

Для набора из 60 различных целых чисел выполнено, что сумма любых двух чисел из этого набора больше суммы любых шести чисел из этого набора.

a) Может ли одним из этих чисел быть число –400?

б) Может ли одним из этих чисел быть число 400?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

Источник: Сборник Ященко 2026 Вариант 3.

У Ивана Ильича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры, то потребуется k кляссеров, причём 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется k + 2 кляссеров и также 5 ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше 150, но меньше 160 ячеек, а в маленьком – больше 100, но меньше 120 ячеек.

а) Может ли k быть равно 3?

б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?

в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Ивана Ильича?

Источник: Сборник Ященко 2026 Вариант 1.

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно удвоенной сумме цифр первого, а третье равно утроенной сумме цифр второго.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2025?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2026?

в) Найдите количество четырехзначных чисел, которые могут быть первым числом в тройке, при условии, что третье число равно 12.

Источник: Сборник Ященко, Вариант 7

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.

а) Может ли фишка оказаться на отметке «–50», если Митя 30 раз бросил кубик?

б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «–50»?

в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «–57», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?

Источник: Сборник Ященко, Вариант 11

Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 — красную, если на 4 — синюю, если на 5 — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке ровно две цветовые отметки.

a) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?

б) Получилось, что на 20 карточках есть синяя и зелёная отметки, на 20 карточках есть синяя и красная отметки, на 20 карточках есть красная и зелёная отметки. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.

в) Получилось, что на 45 карточках синяя отметка. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.

Источник: Сборник Ященко Вариант-13

Для набора 50 различных целых чисел выполнено, что сумма любых трёх чисел из этого набора больше суммы любых пяти чисел из этого набора.

1. а) Может ли одним из этих чисел быть число $-300$?
2. б) б)Может ли одним из этих чисел быть число $300$?
3. в) в)Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 4

Задача.

В трёхзначном числе $\overline{abc}$ (то есть $100a + 10b + c$), произведение его цифр $abc$ не равно нулю.

а) Может ли число $\overline{abc}$ быть в девять раз больше произведения $abc$?

б) Может ли число $\overline{abc}$ быть в два раза больше произведения $abc$?

в) Найдите наибольшее возможное значение отношения числа $\overline{abc}$ к произведению $abc$.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 5

В трёхзначном числе $\overline{abc}$ (равно $100a + 10b + c$) произведение его цифр $abc$ не равно $0$.

а) Может ли число $\overline{abc}$ быть в пять раз больше произведения $abc$?

б)Может ли число $\overline{abc}$ быть в 120 раз больше произведения $abc$? в)Найдите наименьшее возможное отношение числа $\overline{abc}$ к произведению $abc$.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 6

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно учетверённой сумме цифр первого, а третье — учетверённой сумме цифр второго.

а)Может ли сумма этих чисел быть равна $2025$?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна $2026$?

в)Найдите количество четырёхзначных чисел, которые могут быть первым числом в тройке, при условии, что третье число равно $16$.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 8

Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 — красную, если на 4 — синюю, если на 5 — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке поставлено не менее двух цветовых отметок.

а)Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200? б) Получилось, что на $k$ карточках есть только синяя и зелёная отметки, на $k$ карточках — только синяя и красная, на $k$ карточках — только красная и зелёная. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках. в) Карточек с двумя отметками, одна из которых синяя, получилось 37. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 14

Есть 4 камня, каждый массой 100 тонн, 5 камней, каждый массой 25 тонн, и 6 камней, каждый массой 4 тонны.

а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны? б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 50 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 50 тонн меньше суммарной массы третьей группы? в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами $m_1, m_2$ и $m_3$ так, что $m_1 \ge m_2 \ge m_3$. Найдите такое наименьшее число $d$, что $$m_1 - m_2 \le d \quad \text{и} \quad m_2 - m_3 \le d.$$

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 18

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор следующим образом:

• к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой оно было записано ;
• вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.

а)Может ли сумма чисел первого набора быть на 6 меньше суммы чисел второго набора?

б)Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?

в)Найдите наибольшее возможное значение отношения суммы чисел второго набора к сумме чисел первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 19

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:

• к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
• вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.

а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 13 больше суммы чисел второго набора? б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза меньше суммы чисел второго набора? в)Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел первого набора к сумме чисел второго набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 20

В классе больше 10, но не больше 28 учащихся, а доля девочек не превышает 22%.

а)Может ли в этом классе быть 4 девочки? б)Может ли доля девочек составить 30%, если в этот класс придёт новая девочка? в)В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 21

В классе больше 10, но не больше 27 учащихся, а доля девочек не превышает 26%.

а)Может ли в этом классе быть 6 девочек?

б)Может ли доля девочек составить 30%, если в этот класс придёт новая девочка?

в)В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 22

Трёхзначное число $A$ имеет $k$ натуральных делителей (в том числе $1$ и $A$).

а) Может ли $k$ быть равно 7?

б)Может ли $k$ быть равно 25?

в)Найдите наибольшее $k$.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 23

Трёхзначное число $A$ имеет $k$ натуральных делителей (в том числе $1$ и $A$).

а)Может ли $k$ быть равно $15$?

б)Может ли $k$ быть равно $28$?

в)Найдите все такие числа $A$, для которых $k \ge 30$.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 24

Среднее геометрическое $k$ чисел $p_1, p_2, \ldots, p_k$ вычисляется по формуле $$\sqrt[k]{p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k}.$$

а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 45?

б)Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического трёх различных двузначных чисел.

в)Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 25

Среднее геометрическое $k$ чисел $p_1,p_2,\ldots,p_k$ вычисляется по формуле $$\sqrt[k]{p_1\cdot p_2\cdots p_k}.$$

а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно $36$?

б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического четырёх различных двузначных чисел.

в) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 26

Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно 150, а во втором — каждое число равно 50. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно 78.

а)Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $n$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 71?

б)Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $m$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 70?

в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число $k$, одновременно уменьшив на $k$ каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 27

Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно $175$, а во втором — каждое число равно $80$. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно $145$.

а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $n$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно $132$?

б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $m$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно $135$?

в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число $k$, одновременно уменьшив на $k$ каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 28

Дано четырёхзначное число $\overline{abcd}$, где $a, b, c$ и $d$ — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём $a \ne 0$.

а)Может ли произведение $a \cdot b \cdot c \cdot d$ быть больше суммы $a + b + c + d$ в 3 раза?

б)Цифры $a, b, c$ и $d$ попарно различны. Сколько существует различных чисел $\overline{abcd}$ таких, что $a \cdot b \cdot c \cdot d < a + b + c + d$?

в)Известно, что $a \cdot b \cdot c \cdot d = k(a + b + c + d)$, где $k$ — двузначное число. При каком наименьшем значении $\overline{abcd}$ число $k$ будет наибольшим?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 29

Дано четырёхзначное число $\overline{abcd}$, где $a,b,c,d$ — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём $a\neq 0$.

а) Может ли произведение $a\cdot b\cdot c\cdot d$ быть больше суммы $a+b+c+d$ в $5$ раз?

б) Цифры $a,b,c,d$ попарно различны. Сколько существует различных чисел $\overline{abcd}$ таких, что $$a\cdot b\cdot c\cdot d > a+b+c+d?$$

в) Известно, что $$a\cdot b\cdot c\cdot d = k(a+b+c+d),$$ где $k$ — двузначное число. При каком наибольшем значении $\overline{abcd}$ число $k$ будет наибольшим?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 30

Есть три коробки: в первой коробке 112 камней, во второй — 99, а третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а)Могло ли в первой коробке оказаться 103 камня, во второй — 99, а в третьей — 9?

б) Могло ли в третьей коробке оказаться 211 камней?

в) Во второй коробке оказалось 4 камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 31

Есть три коробки: в первой коробке $95$ камней, во второй — $104$, а третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в третьей коробке оказаться $199$ камней?

б) Могло ли в первой коробке оказаться $100$ камней, во второй — $50$, а в третьей — $49$?

в)Во второй коробке оказалось $2$ камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 32

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 9177.

а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

б) Может ли последовательность состоять из пяти членов?

в)Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 33

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в $8$ раз больше, либо в $8$ раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна $4040$.

а)Может ли последовательность состоять из трёх членов?

б)Может ли последовательность состоять из четырёх членов?

в)Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 34

Из $k$ кг материала фабрика изготавливает $n$ одинаковых деталей массой $m$ кг каждая, причём $k = nm + q$, где $q$ кг — остатки материала, и $q < m$. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на $0{,}2$ кг легче детали старого типа, причём из 63 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 64 кг материала.

а)Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 15 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 16 — уже нет?

б)Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 40 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 41 — уже нет?

в)Найдите такое минимальное число $n$, что фабрика может выпускать $n$ новых деталей из 80 кг материала, а $n-1$ деталей — не сможет, не нарушая условия $q<m$.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 35

Из $k$ кг материала фабрика изготавливает $n$ одинаковых деталей массой $m$ кг каждая, причём $$k = nm + q,\qquad 0 \le q < m.$$ После внедрения новых технологий начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на $0{,}1$ кг легче детали старого типа. Из $18$ кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем деталей старого типа из $21$ кг материала.

а) Может ли новая деталь весить столько, что для изготовления $50$ новых деталей достаточно $18$ кг материала, а для $51$ — уже нет?

б)Может ли новая деталь весить столько, что для изготовления $32$ новых деталей достаточно $18$ кг материала, а для $33$ — уже нет?

в) Найдите все такие числа $n$, что фабрика может выпускать $n$ новых деталей из $10$ кг материала, не нарушая условия $q < m$.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 36

Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй  — 102, в третьей  — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а)  Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй  — 102, в третьей  — 103, а в четвёртой  — 4?

б)  Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?

в)  Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?