Задание 20 № 15836: Свойства различных чисел — ЕГЭ по математике

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:

к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.

а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 13 больше суммы чисел второго набора? б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза меньше суммы чисел второго набора? в)Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел первого набора к сумме чисел второго набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 20

Решение:

а) Пусть в первом наборе написаны числа 17, 11, 1. Тогда во втором наборе получатся числа: $\frac{1 + 7}{2} = 4,\quad \frac{1 + 1}{2} = 1,\quad 11.$ Сумма чисел в первом наборе равна $17 + 11 + 1 = 29$ , а сумма чисел во втором наборе равна $4 + 1 + 11 = 16 = 29 - 13$ . Что и требовалось.

б) Рассмотрим числа 33 и 7. Сумма чисел в наборе $33 + 7 = 40$ . В новом наборе будут числа 3 и 77. Сумма этих чисел $3 + 77 = 80 = 40 \cdot 2$ . То есть такое возможно.

в) Разделим первый набор чисел на две группы: однозначные и двузначные. Преобразование для однозначного числа $k$ делает из числа $k$ число $\overline{kk} = 11k$ . Обозначим однозначные числа первого набора $k_1, k_2, \dots, k_n$ . Двузначные числа первого набора — $a_1b_1, a_2b_2, \dots, a_n b_n$ . Пусть $k_1 + k_2 + \dots + k_n = S_1$ . Тогда отношение суммы первого набора к сумме второго набора равняется:

$\frac{S_1 + a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_n b_n}{11S_1 + \frac{a_1 + b_1 + a_2 + b_2 + \dots + a_n + b_n}{2}}.$

Обозначим $A = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ , $B = b_1 + b_2 + \dots + b_n$ .

Тогда отношение выше равно: $\frac{2S_1 + 20A + 2B}{22S_1 + A + B}.$

Докажем следующий факт: $\frac{2S_1 + 20A + 2B}{22S_1 + A + B} \leq 5{,}75.$

Домножим обе части на знаменатель: $2S_1 + 20A + 2B \leq 126{,}5S_1 + 5{,}75A + 5{,}75B,$ $14{,}25A \leq 124{,}5S_1 + 3{,}75B.$

Домножим всё на 4: $57A \leq 498S_1 + 15B.$

Так как в первом наборе нет одинаковых чисел, а возможных цифр всего 5, то количество однозначных чисел в первом наборе не превышает 5, то есть $n \leq 5$ .

Причем тогда: $S_1 \geq 1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2.$

Так как все цифры из множества $\{b_1, b_2, \dots, b_n\}$ не меньше 1 (так как 0 в записи по условию не используется), то можно оценить число $B$ снизу значением $n$ , так как в этой сумме $n$ чисел не меньше 1.

При этом значение $A$ можно оценить сверху числом $9n$ , так как все цифры из множества $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ не превышают 9, а в этой сумме $n$ чисел не больше 9.

То есть: $57A \leq 57 \cdot 9n = 513n.$

Теперь имеем: $498S_1 + 15B \geq 498n^2 + 15n \geq 513n \geq 57A.$

Мы пришли к тождественному неравенству. Тогда рассматриваемое отношение не превышает $5{,}75$ . Равенство достигается, когда все приведённые выше оценки также обращаются в равенство. То есть $n = 1$ , $S_1 = 1$ , $A = 9$ , $B = 1$ . Значит, в первом наборе два числа — это 91 и 1. Тогда во втором наборе будут числа 5 и 11. Сумма первого набора 92, а сумма второго 16. Действительно, отношение суммы первого набора к сумме второго набора равняется $5{,}75$ .

Ответ:

[а)]а) Да
[б)]б) Да
[в)]в) $5{,}75$