Свойства различных чисел

Каждое из 4 последовательных натуральных чисел разделили на любую ненулевую цифру числа. $S$ — это сумма получившихся 4 чисел.

а) Может ли $S$ = 421?

б) Может ли $S$ = 9,2?

в) Какое наибольшее может быть $S$, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?

Источник: ЕГЭ 2022, досрочная волна

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Источник: ЕГЭ 2013, вторая волна

Дано трёхзначное натуральное число, не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 13?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 6?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр, если первая цифра данного числа равна 6?

Источник: ЕГЭ 2021, основная волна

Дано трёхзначное число $A$, сумма цифр которого равна $S$.

а) Может ли выполняться равенство $A\cdot S = 28000$?

б) Может ли выполняться равенство $A\cdot S = 2971$?

в) Найдите наибольшее произведение $A \cdot S < 5997$.

Источник: ЕГЭ 2021, основная волна

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 1 и 6.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 173?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 109?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?

Источник: ЕГЭ 2020

Дано натуральное число. Из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, при этом полученное число должно быть натуральным.

а) Могло ли из числа 65 получиться число 41?

б) Могло ли из числа 65 получиться число 43?

в) Какое наименьшее двузначное число можно получить из 65?

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

На доске написано трёхзначное число $A$. Серёжа зачеркивает одну цифру и получает двузначное число $B$, затем Коля записывает число $A$ и зачёркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число $C$.

а) Может ли быть верным уравнение $A = B \cdot C$ если $A > 140$.

б) Может ли быть верным уравнение $A = B \cdot C$ если $440 \le A < 500$.

в) Найдите наибольшее число $A$ до $900$ для которого выполняется $A = B \cdot C$.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Есть трёхзначное число $A$, которое написал Петя. Костя и Ваня вычёркивают по одной цифре в числе, получаются двухзначные числа $B$ и $C$, причём и Костя и Ваня могут вычеркнуть одинаковые цифры.

а) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$ если $A > 130$?

б) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$ если $540 < A \le 600$?

в) Какое максимальное $A$ соответствует условию $A = B \cdot C$?

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно удвоенной сумме цифр первого, а третье равно утроенной сумме цифр второго.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2025?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2026?

в) Найдите количество четырехзначных чисел, которые могут быть первым числом в тройке, при условии, что третье число равно 12.

Источник: Сборник Ященко, Вариант 7

Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 — красную, если на 4 — синюю, если на 5 — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке ровно две цветовые отметки.

a) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?

б) Получилось, что на 20 карточках есть синяя и зелёная отметки, на 20 карточках есть синяя и красная отметки, на 20 карточках есть красная и зелёная отметки. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.

в) Получилось, что на 45 карточках синяя отметка. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.

Источник: Сборник Ященко Вариант-13

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор следующим образом:

• к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой оно было записано ;
• вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.

а)Может ли сумма чисел первого набора быть на 6 меньше суммы чисел второго набора?

б)Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?

в)Найдите наибольшее возможное значение отношения суммы чисел второго набора к сумме чисел первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 19

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:

• к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
• вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.

а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 13 больше суммы чисел второго набора? б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза меньше суммы чисел второго набора? в)Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел первого набора к сумме чисел второго набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 20

Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно 150, а во втором — каждое число равно 50. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно 78.

а)Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $n$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 71?

б)Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $m$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно 70?

в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число $k$, одновременно уменьшив на $k$ каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 27

Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно $175$, а во втором — каждое число равно $80$. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно $145$.

а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $n$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно $132$?

б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $m$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно $135$?

в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число $k$, одновременно уменьшив на $k$ каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 28

Дано четырёхзначное число $\overline{abcd}$, где $a, b, c$ и $d$ — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём $a \ne 0$.

а)Может ли произведение $a \cdot b \cdot c \cdot d$ быть больше суммы $a + b + c + d$ в 3 раза?

б)Цифры $a, b, c$ и $d$ попарно различны. Сколько существует различных чисел $\overline{abcd}$ таких, что $a \cdot b \cdot c \cdot d < a + b + c + d$?

в)Известно, что $a \cdot b \cdot c \cdot d = k(a + b + c + d)$, где $k$ — двузначное число. При каком наименьшем значении $\overline{abcd}$ число $k$ будет наибольшим?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 29

Дано четырёхзначное число $\overline{abcd}$, где $a,b,c,d$ — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём $a\neq 0$.

а) Может ли произведение $a\cdot b\cdot c\cdot d$ быть больше суммы $a+b+c+d$ в $5$ раз?

б) Цифры $a,b,c,d$ попарно различны. Сколько существует различных чисел $\overline{abcd}$ таких, что $$a\cdot b\cdot c\cdot d > a+b+c+d?$$

в) Известно, что $$a\cdot b\cdot c\cdot d = k(a+b+c+d),$$ где $k$ — двузначное число. При каком наибольшем значении $\overline{abcd}$ число $k$ будет наибольшим?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 30

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а)  Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в)  Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

На доске написали несколько, не обязательно различных, двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной $363$. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число $17$ заменили числом $71$).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в $4$ раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в $2$ раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $25$, меньше, чем чисел, делящихся на $29$.

а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на $25$?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на $25$?

в) Найдите наибольшее возможное значение $k$.

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.

а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 567 и 1414?

б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 567?

в) Найдите минимальное n, при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $n^2$. $(n \neq 1)$.

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $20$, меньше, чем чисел, делящихся на $23$.

а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на $20$?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на $20$?

в) Найдите наибольшее возможное значение $k$.

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $20$, меньше, чем чисел, делящихся на $23$.

а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на $20$?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на $20$?

в)Найдите наибольшее возможное значение $k$.

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.

а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417?

б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 563?

в) Найдите минимальное n, при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $n^2$. $(n \neq 1)$.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 035.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 325?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 7?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 032.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 312?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 6?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.