Числа и их свойства

На доске написано трёхзначное число $A$. Серёжа зачеркивает одну цифру и получает двузначное число $B$, затем Коля записывает число $A$ и зачёркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число $C$.

а) Может ли быть верным уравнение $A = B \cdot C$ если $A > 140$.

б) Может ли быть верным уравнение $A = B \cdot C$ если $440 \le A < 500$.

в) Найдите наибольшее число $A$ до $900$ для которого выполняется $A = B \cdot C$.

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке $0$; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.

а) Может ли фишка оказаться на отметке «$0$», если Митя $45$ раз бросил кубик?

б)Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «$-35$»?

в)Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «$-42$», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 12

В наборе $100$ гирек весом $1, 2, ..., 100$ граммов. Их разложили на две кучки, так что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирьки в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.

а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами $1$г, $5$г, $9$г?

б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться $7,5$ граммов?

в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Источник: Основная волна ЕГЭ-2020

В наборе $70$ гирек массой $1, 2, \ldots, 70$ граммов. Их разложили на две кучки так, что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирек в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.

а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами $11$г, $15$г, $19$г?

б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться $9{,}5$ грамма?

в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Источник: Основная волна ЕГЭ-2020

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше $5$?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше $3$, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше $4$?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна $6$. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Источник: Досрочная волна ЕГЭ-2020

На доске написано $11$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $5$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $15$.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться $3$?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться $9$?

в) Пусть $B$ − шестое по величине число, а $S$ - среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S-B$.

Источник: ЕГЭ – 2018, основная волна.

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7 , а среднее арифметическое шести наибольших равно 16 .

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 5?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?

в) Пусть $B$ - шестое по величине число, а $S$ - среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S - B$.

Источник: ЕГЭ – 2018, основная волна.

В ящике лежат 65 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 982 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1024 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б) Могло ли в ящике оказаться ровно 13 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Источник: ЕГЭ – 2019, основная волна.

В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1030 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б) Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Источник: ЕГЭ – 2019, основная волна, Санкт-Петербург.

Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма — это среднее геометрическое оценок всех экспертов. Среднее геометрическое чисел $a_1,\dots,a_n$ равно $\sqrt[n]{a_1\cdot ... \cdot a_n}$. Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов — различные целые числа.

а) Могли ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?

б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?

в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Источник: ЕГЭ 2018, основная волна

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза?

б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться 1?

в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Источник: Основная волна ЕГЭ-2018

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно — 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно — 8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Источник: ЕГЭ 2017, Демоверсия

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Источник: А. Ларин, Тренировочный вариант №370

На сайте проводится опрос, кого из 134 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа $\;9,3$,$\;10,5\;$ и $\;12,7\;$ округляются до $9$, $11$ и $13$ соответственно.

а) Всего проголосовало 17 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 41. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?

б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 27?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?

Источник: А. Ларин, Тренировочный вариант №457

Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.

а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?

б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?

в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.

Источник: ЕГЭ 2019, досрочная волна

Последовательность натуральных чисел ($a_n$) состоит из 400 членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на 98 меньше предыдущего.

а) Может ли последовательность ($a_n$) содержать ровно 5 различных чисел?

б) Чему может равняться $a_1$, если $a_{100}=75$?

в) Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности ($a_n$)?

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию ($n\ge3$).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?

б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше 1000?

в) Найдите все возможные значения $n$, если сумма всех данных чисел равна 129.

Источник: ЕГЭ 2013, досрочная волна

Целое число $S$ является суммой не менее пяти последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.

а) Может ли $S$ равняться 9?

б) Может ли $S$ равняться 2?

в) Найдите все значения, которые может принимать $S$

Источник: ЕГЭ 2014, досрочная волна

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел равен 128. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.

а) Может ли число 686 являться членом такой прогрессии?

б) Может ли число 496 являться членом такой прогрессии?

в) Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Источник: ЕГЭ 2021, основная волна

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?

б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9 . Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.

в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

Источник: ЕГЭ 2014, основная волна

Целое число $S$ является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел.

а) Может ли $S$ равняться 8?

б) Может ли $S$ равняться 1?

в) Найдите все значения, которые может принимать $S$.

Источник: ЕГЭ 2014, основная волна

Каждое из 4 последовательных натуральных чисел разделили на любую ненулевую цифру числа. $S$ — это сумма получившихся 4 чисел.

а) Может ли $S$ = 421?

б) Может ли $S$ = 9,2?

в) Какое наибольшее может быть $S$, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?

Источник: ЕГЭ 2022, досрочная волна

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Источник: ЕГЭ 2013, вторая волна

Дано трёхзначное натуральное число, не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 13?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 6?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр, если первая цифра данного числа равна 6?

Источник: ЕГЭ 2021, основная волна

Дано трёхзначное число $A$, сумма цифр которого равна $S$.

а) Может ли выполняться равенство $A\cdot S = 28000$?

б) Может ли выполняться равенство $A\cdot S = 2971$?

в) Найдите наибольшее произведение $A \cdot S < 5997$.

Источник: ЕГЭ 2021, основная волна

На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 1 и 6.

а) Может ли сумма этих чисел быть равна 173?

б) Может ли сумма этих чисел быть равна 109?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?

Источник: ЕГЭ 2020

Дано натуральное число. Из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, при этом полученное число должно быть натуральным.

а) Могло ли из числа 65 получиться число 41?

б) Могло ли из числа 65 получиться число 43?

в) Какое наименьшее двузначное число можно получить из 65?

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

На доске написано трёхзначное число $A$. Серёжа зачеркивает одну цифру и получает двузначное число $B$, затем Коля записывает число $A$ и зачёркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число $C$.

а) Может ли быть верным уравнение $A = B \cdot C$ если $A > 140$.

б) Может ли быть верным уравнение $A = B \cdot C$ если $440 \le A < 500$.

в) Найдите наибольшее число $A$ до $900$ для которого выполняется $A = B \cdot C$.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Есть трёхзначное число $A$, которое написал Петя. Костя и Ваня вычёркивают по одной цифре в числе, получаются двухзначные числа $B$ и $C$, причём и Костя и Ваня могут вычеркнуть одинаковые цифры.

а) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$ если $A > 130$?

б) Может ли быть верным равенство $A = B \cdot C$ если $540 < A \le 600$?

в) Какое максимальное $A$ соответствует условию $A = B \cdot C$?

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна