Тип 20 № 13213

а) Пусть учащиеся школы № 1 набрали 1 и 19 баллов соответственно. Средний балл школы № 1 составил 10 баллов. Если перешел человек с 19 баллами, то средний балл школы № 1 станет равен 1, т.е. уменьшится в 10 раз.

б) Пусть в школе № 1 $A$ — средний балл. Пусть школе № 2 писали тест $x$ учащихся школы, $B$ — средний балл, а прошедший в нее учащийся набрал $y$ баллов. Тогда получаем:

$$y= 0,9(x+1)B-xB; \quad 10y = (9 - x)B.$$

Если $B = 7$, то $(9 - x)B$ не делится на 10, а $10y$ делится на 10. Но это невозможно, поскольку $10y = (9 - x)B$.

в) Так как количество баллов после переходов не изменилось, то $$Ax + B(9-x)=(x-1)\cdot0,9A + (10-x)\cdot 0,9B$$ $$Ax+9B-xB=0,9xA-0,9A+9B-0,9xB$$ $$0,1Ax+0,9A=0,1xB$$ $$Ax+9A=xB$$ $$B=\dfrac{A(x+9)}{x}$$ Заметим, что $A_{min} > 1$, так как при $A=1$ после уменьшения среднего балла получится $0,9$, что невозможно, кроме того $A$ — натуральное. Задача найти минимальное $B$, $x$ может изменяться от 2 до 7, так как в каждой школе тест писали как минимум двое, а суммарно его писали 9 учащихся. Тогда

1. $x=2    \Rightarrow    B =\dfrac{11A}{2}, ; A_{min} = 2    \Rightarrow    B=11 $

2. $x=3    \Rightarrow    B =\dfrac{12A}{3}, ; A_{min} = 2    \Rightarrow    B=8 $

3. $x=4    \Rightarrow    B =\dfrac{13A}{4}, ; A_{min} = 4    \Rightarrow    B=13 $

4. $x=5    \Rightarrow    B =\dfrac{14A}{5}, ; A_{min} = 5    \Rightarrow    B=14 $

5. $x=6    \Rightarrow    B =\dfrac{15A}{6}, ; A_{min} = 2    \Rightarrow    B=5 $

6. $x=7    \Rightarrow    B =\dfrac{16A}{7}, ; A_{min} = 7    \Rightarrow    B=16 $

Минимально возможное $B = 5$.
Рассмотрим пример. Пусть в школе № 1 писали тест 6 учеников, трое из них написали тест на 1 балл, а другие три написали на 3 балла. В школе № 2 писали тест 3 ученика, каждый набрал по 5 баллов, а перешедший ученик написал на 3 балла.

Получили, что в первой школе средний балл был равен $2$, стал $1,8$.

Во второй школе был $5$, а стал $4,5$

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 5.