Среднее арифметическое

В наборе $100$ гирек весом $1, 2, ..., 100$ граммов. Их разложили на две кучки, так что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирьки в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.

а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами $1$г, $5$г, $9$г?

б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться $7,5$ граммов?

в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Источник: Основная волна ЕГЭ-2020

В наборе $70$ гирек массой $1, 2, \ldots, 70$ граммов. Их разложили на две кучки так, что в каждой кучке есть хотя бы одна гирька. Потом из второй кучки переложили одну гирьку в первую кучку. В результате средняя масса гирек в первой кучке увеличилась ровно на один грамм.

а) Могла ли первая кучка (до перекладывания) состоять из гирек с весами $11$г, $15$г, $19$г?

б) Мог ли средний вес гирек в первой кучке до перекладывания равняться $9{,}5$ грамма?

в) Какое максимальное количество гирек могло быть первоначально в первой кучке?

Источник: Основная волна ЕГЭ-2020

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше $5$?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше $3$, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше $4$?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна $6$. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Источник: Досрочная волна ЕГЭ-2020

На доске написано $11$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно $5$, а среднее арифметическое шести наибольших равно $15$.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться $3$?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться $9$?

в) Пусть $B$ − шестое по величине число, а $S$ - среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S-B$.

Источник: ЕГЭ – 2018, основная волна.

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7 , а среднее арифметическое шести наибольших равно 16 .

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 5?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?

в) Пусть $B$ - шестое по величине число, а $S$ - среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S - B$.

Источник: ЕГЭ – 2018, основная волна.

В ящике лежат 65 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 982 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1024 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б) Могло ли в ящике оказаться ровно 13 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Источник: ЕГЭ – 2019, основная волна.

В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1030 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б) Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Источник: ЕГЭ – 2019, основная волна, Санкт-Петербург.

Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма — это среднее геометрическое оценок всех экспертов. Среднее геометрическое чисел $a_1,\dots,a_n$ равно $\sqrt[n]{a_1\cdot ... \cdot a_n}$. Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов — различные целые числа.

а) Могли ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?

б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?

в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Источник: ЕГЭ 2018, основная волна

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза?

б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться 1?

в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Источник: Основная волна ЕГЭ-2018

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно — 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно — 8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Источник: ЕГЭ 2017, Демоверсия

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Источник: А. Ларин, Тренировочный вариант №370

На сайте проводится опрос, кого из 134 футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округлённая до целого числа. Например, числа $\;9,3$,$\;10,5\;$ и $\;12,7\;$ округляются до $9$, $11$ и $13$ соответственно.

а) Всего проголосовало 17 посетителей сайта, и рейтинг первого футболиста стал равен 41. Увидев это, Вася отдал свой голос за другого футболиста. Чему теперь равен рейтинг первого футболиста?

б) Вася проголосовал за некоторого футболиста. Могла ли после этого сумма рейтингов всех футболистов уменьшиться не менее чем на 27?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма рейтингов всех футболистов?

Источник: А. Ларин, Тренировочный вариант №457

Среднее геометрическое $k$ чисел $p_1, p_2, \ldots, p_k$ вычисляется по формуле $$\sqrt[k]{p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k}.$$

а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно 45?

б)Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического трёх различных двузначных чисел.

в)Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 25

Среднее геометрическое $k$ чисел $p_1,p_2,\ldots,p_k$ вычисляется по формуле $$\sqrt[k]{p_1\cdot p_2\cdots p_k}.$$

а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно $36$?

б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического четырёх различных двузначных чисел.

в) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.

Источник: Сборник Ященко-2026, Вариант 26

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее или равное −30. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных – на 8. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.

а) Может ли количество синих карт быть равным 1?

б) Может ли количество синих карт быть равным 40?

в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, большие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 51, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске уменьшилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 17?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $A + B$.

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\frac{A + B}{2}$.

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A + B}{2}$.

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $A + B$.

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\frac{A + B}{2}$.

в)Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A + B}{2}$.

На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $A + B$.

б)Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\frac{A + B}{2}$.

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A + B}{2}$.

На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно одного) на доске написали числа меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 10, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.

а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел увеличилось?

б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 37. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 44?

в)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 37. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

а доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, большие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 51, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске уменьшилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 17?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.