Тип 20 № 21082

Решение:

Общее среднее всех чисел равно $$\frac{10\cdot 5 + 10\cdot 4 + 10\cdot 3}{30} = \frac{50+40+30}{30}=4.$$

а)

Приведём пример разбиения, при котором среднее арифметическое всех чисел (равное $4$) меньше $A+B$.
Возьмём в первой группе все десять пятёрок, а во вторую поместим все десятки троек и четвёрок. Тогда $$A = 5,\qquad B = \frac{10\cdot 3 + 10\cdot 4}{20} = \frac{30+40}{20} = 3{,}5.$$ Следовательно, $$A+B = 8{,}5 > 4,$$ то есть условие выполнено.

б)

Пусть группы содержат по $15$ чисел. Тогда сумма чисел в первой группе равна $15A$, во второй — $15B$. Общая сумма всех чисел: $$15A + 15B = 15(A+B).$$ С другой стороны, общая сумма всех $30$ чисел равна $30\cdot 4 = 120$. Значит, $$15(A+B) = 120 \quad\Longrightarrow\quad \frac{A+B}{2} = 4.$$ Таким образом, среднее арифметическое всех чисел равно $\frac{A+B}{2}$.

в)

Найдём наибольшее возможное значение $\frac{A+B}{2}$.

Заметим, что $A \le 5$ и $B \le 5$, причём равенство $5$ достигается только в случае, когда все числа в соответствующей группе — пятёрки.

Пусть в первой группе ровно $n$ чисел, и все они — пятёрки (тогда $A=5$). Тогда $1 \le n \le 10$. Во второй группе остаются $10-n$ пятёрок, $10$ четвёрок и $10$ троек, всего $30-n$ чисел. Её среднее: $$B = \frac{5(10-n) + 4\cdot 10 + 3\cdot 10}{30-n} = \frac{50 - 5n + 40 + 30}{30-n} = \frac{120 - 5n}{30-n}.$$ Чтобы максимизировать $\frac{A+B}{2} = \frac{5 + B}{2}$, нужно максимизировать $B$. Функция $$B(n) = \frac{120 - 5n}{30-n}$$ убывает при $n \in [1,10]$ (производная отрицательна), поэтому наибольшее значение достигается при наименьшем $n=1$: $$B_{\max} = \frac{120 - 5}{29} = \frac{115}{29}.$$ Тогда $$\frac{A+B}{2} = \frac{5 + \frac{115}{29}}{2} = \frac{\frac{145}{29} + \frac{115}{29}}{2} = \frac{260}{29} \cdot \frac{1}{2} = \frac{130}{29} = 4 + \frac{14}{29}.$$

Ответы

а) Например, в первой группе все пятёрки, во второй — все тройки и четвёрки.

б) Доказано.

в) $\dfrac{130}{29}$.