Тип 20 № 15841

а) Да, может, например: $$\sqrt[3]{75 \cdot 45 \cdot 27} = \sqrt[3]{45^3} = 45.$$

Предисловие для б)
Очевидно, что если среднее геометрическое набора из нескольких различных чисел равно $g$, то наименьшее число из набора меньше, чем $g$. При этом, среди его простых делителей не должно встречаться чисел, отличных от простых делителей $g$. Чтобы воспользоваться этим фактом в пунктах б) и в), выпишем, какие простые делители есть у двузначных чисел от 10 до 24:

Как видно из таблицы, средним геометрическим в данном интервале могут быть числа: 18, 20, 22, 24.

б) Будем считать, что $a, b, c$ — различные двузначные числа и $a < b < c$.
Из предисловия понятно, что наименьшее возможное значение среднего геометрического трёх различных двузначных чисел равняется 18. Действительно, если взять числа 12, 18, 27, то их среднее геометрическое будет равно: $$\sqrt[3]{12 \cdot 18 \cdot 27} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^6} = 2 \cdot 9 = 18$$

в) Для начала поймем, что существует пример 6 различных двузначных чисел со средним арифметическим 60: $$\sqrt[6]{25 \cdot 45 \cdot 60 \cdot 80 \cdot 90 \cdot 96} = \sqrt[6]{2^{12} \cdot 3^6 \cdot 5^6} = 60.$$

Давайте определим количество простых чисел в разложении на множители искомого среднего арифметического $k = \sqrt[6]{abcdef}$. Для начала поймем, что их меньше 4, так как иначе $$k \geq 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105 > 99.$$ Также оно точно больше 1, так как иначе все 6 двузначных чисел должны быть степенями некоторого простого числа. Но тогда это число 2, так как $3^6 = 729 > 99$. Но для числа 2 двузначные степени двойки начинаются с 16, тогда мы имеем минимум $2^4, 2^5, \ldots, 2^9$, но $2^9 = 512 > 99$. То есть простых множителей либо 2, либо 3.

Поймем, что у искомого среднего геометрического наибольший простой делитель не превышает 7. Положим обратное, тогда этот простой делитель, назовем его $k$, не меньше 11, тогда степень вхождения числа $k$ в произведение 6 различных двузначных чисел должна быть не меньше 6, причем степень вхождения $k$ в любое двузначное число не превышает 1, так как $k^2 \geq 121 > 99$. Тогда среди 6 чисел точно должно быть ровно 6 различных простых делителей. Тогда $k \leq 17$, так как среди двузначных чисел не найдется 6 чисел, кратных 17, ведь $6 \cdot 17 = 102 > 99$. Также $k \ne 13$, так как двузначные числа, кратные 13 — это $13, 26, 39, 52, 65, 78, 91$. Причем у каждого ровно 2 простых множителя, чисел всего 7, а использовать должно быть 6 чисел из них, но среди них есть число с 3 множителями — 78. То есть какая бы ни была выборка, не более 5 подходящих чисел.

Теперь докажем, что $k \ne 11$. Аналогично выпишем все числа, кратные 11: $11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99$. Если в качестве «целевого» числа выбрать число, кратное 3, то степень вхождения числа 3 в произведение 6 чисел из 9 превышает 4. Тогда среднее геометрическое будет кратно 3. Тогда среди чисел, больших 60, остаются 77 и 88. 77 не подойдет, так как других чисел, кратных 7, не найдется. А число 88 не подойдет, так как чисел больше 88 среди 6 выбранных быть не может (поскольку 99 кратно 3, а 88 не 3, не кратно), то есть среднее геометрическое всех 6 чисел точно будет меньше 88.

Тогда все простые делители искомого среднего геометрического не превышают 7. Теперь докажем, что искомое число точно не делится на 7. Разберем 2 случая:

• У среднего геометрического ровно 2 простых делителя. Тогда второй простой делитель точно не равен 3 или 5, так как иначе степень вхождения числа 7 в произведение 6 чисел должна быть не менее 6, но для простого множителя $k = 3$ существует только следующие подходящие числа среди кратных 7: $49, 7k, 7k^2$. Так как $7k^3 > 7 \cdot 27 = 147 > 99$. Степень вхождения числа 7 в произведение не превысит 4. Тогда среднее геометрическое будет кратно только 2 и 7, при этом больше 60, но такое число ровно одно — это 98. Ясно, что среднее геометрическое 6 различных двузначных чисел не может равняться 98, так как наибольшее среди этих чисел — 98 (ведь 99 кратно 3, а 88 не подходит, в наборе чисел быть не может, а других двузначных больше 98 нет). То есть ровно 2 простых делителя у выбранного среднего геометрического, если оно кратно 7, быть не может.
• У числа ровно 3 простых делителя. Тогда это либо $2, 3, 7$, либо $2, 5, 7$, так как $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105 > 99$. В первом случае искомое среднее геометрическое, как мы поняли, должно быть больше 60, причем равняться 84. Давайте выпишем первые 6 наибольших чисел, которые среди простых множителей имеют только 2, 3 и 7: $98, 96, 84, 81, 72, 64$. Поймем, что их произведение меньше, чем у целевого: $$98 \cdot 96 \cdot 84 \cdot 81 \cdot 72 \cdot 64 = 2^{17} \cdot 7^3 \cdot 3^8.$$ Сравним: $$2^{17} \cdot 7^3 \cdot 3^8 < 2^{12} \cdot 3^6 \cdot 7^6$$ $$2^5 \cdot 3^2 < 7^3$$ $$288 < 343.$$ Тогда действительно среднее геометрическое 6 наибольших подходящих чисел уже меньше «целевого», то есть искомое среднее геометрическое не может равняться 84. В случае же, если у среднего геометрического простые делители — это $2, 5$ и $7$, то среди чисел больше 60 такое число ровно одно — это 70. Опять же выпишем наиболее подходящие числа: $98, 80, 70, 64, 56, 50$. Здесь для простоты воспользуемся неравенством о средних: среднее геометрическое не превосходит по значению среднее арифметическое, то есть в данном случае не превосходит $$\frac{98 + 80 + 70 + 64 + 56 + 50}{6} = \frac{418}{6} = 69\frac{2}{3} < 70.$$ Тогда имеем возможные делители: $2, 3, 5$. Поймем, что 5 имеет степень вхождения в искомое среднее геометрическое не выше 1, так как иначе нужно будет найти 6 чисел, произведение которых делится на $5^{12}$, но тогда каждое число будет кратно 25 (так как $5^3$ уже не двузначное число), но двузначных чисел, кратных 25, всего 2. Причем если делителя ровно 2, то это 2 и 3, так как в случае с пятёркой может подойти только число 80 (в 75 пятёрка входит два раза), но больше 80 подходящих чисел (которые кратны только 2 и 5) нет. Рассмотрим наибольшие числа, кратные 2 и 3: $96, 81, 72, 64, 54, 48$. Но их среднее арифметическое равняется: $$\frac{96 + 81 + 72 + 64 + 54 + 48}{6} = \frac{415}{6} = 69\frac{1}{6} < 72.$$ А так как оно не меньше среднего геометрического, получается, что среднее геометрическое 6 различных двузначных чисел при условии, что оно представимо целым числом и их простые множители равны только 2 и 3, не может быть больше 60 (так как наименьшее из подходящих чисел равняется 72 и оно не является достижимым). Тогда множителей 3 — это 2, 3 и 5. Из больших 60 чисел такое ровно одно — это 90. Но его получить невозможно. Выпишем наиболее подходящие числа: $96, 90, 81$. Остальные числа меньше 81. То есть среднее геометрическое не будет превосходить среднее арифметическое, которое не превосходит $$\frac{96 + 90 + 81 + 4}{6} = \frac{510}{6} = 85 < 90.$$ Тогда действительно искомое значение — 60.

Ответ:

• [а)] а)Да
• [б)] б)18
• [в)] в)60