Числа и их свойства

Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A  =  7, B  =  11.

а)  Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?

б)  За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?

в)  Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?

Дано натуральное число. Можно либо вычесть из него утроенную сумму его цифр, либо прибавить к нему утроенную сумму его цифр. При этом полученное число должно быть натуральным.

a) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 29?

б) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 31?

в) Какое наименьшее натуральное число можно получить из 128 с помощью таких операций?

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а)  Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в)  Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

На доске написали несколько, не обязательно различных, двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной $363$. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число $17$ заменили числом $71$).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в $4$ раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в $2$ раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $(n \geq 3)$.

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной $13$?

б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше $500$?

в) Найдите все возможные значение $n$, если сумма всех данных чисел равна $57$.

Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой карточке написано натуральное число. Среднее арифметическое всех чисел равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое число на красной. Числа на синих карточках увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое всех чисел стало равно 31{,}2.

a) Может ли быть 10 синих карточек?

б) Может ли быть 10 красных карточек?

в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Сибирь

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее или равное −30. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных – на 8. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.

а) Может ли количество синих карт быть равным 1?

б) Может ли количество синих карт быть равным 40?

в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A  =  7, B  =  11.

а)  Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?

б)  За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?

в)  Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна $20$ тонн или $60$ тонн. В некоторых контейнерах находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет $75\%$ от общего числа контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять $80\%$ от общей массы?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять $40\%$ от общей массы?

в) Какую наибольшую долю в процентах может составлять масса контейнеров с сахарным песком от общей массы?

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна $40$ тонн или $60$ тонн. В некоторых контейнерах находится сахарный песок.

Количество контейнеров с сахарным песком составляет $40\%$ от общего числа контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять $36\%$ от общей массы?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять $60\%$ от общей массы?

в) Какую наибольшую долю в процентах может составлять масса контейнеров с сахарным песком от общей массы?

На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 5, но не превосходит 45. Вместо некоторых чисел (возможно одного) на доске написали числа меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 5, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 32. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 39?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 32. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, большие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 51, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске уменьшилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 17?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Из первых 22 натуральных чисел 1, 2, ..., 22 выбрали 2$k$ различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.

а) Может ли получиться так, что сумма всех 2$k$ выбранных чисел равняется 170 и в каждой паре одно из чисел ровно в три раза больше другого?

б) Может ли число $k$ быть равным 11?

в) Найдите наибольшее возможное значение числа $k$.

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $A + B$.

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\frac{A + B}{2}$.

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A + B}{2}$.

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $A + B$.

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\frac{A + B}{2}$.

в)Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A + B}{2}$.

На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $A + B$.

б)Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\frac{A + B}{2}$.

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A + B}{2}$.

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $25$, меньше, чем чисел, делящихся на $29$.

а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на $25$?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на $25$?

в) Найдите наибольшее возможное значение $k$.

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.

а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 567 и 1414?

б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 567?

в) Найдите минимальное n, при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $n^2$. $(n \neq 1)$.

На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно одного) на доске написали числа меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 10, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.

а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел увеличилось?

б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 37. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 44?

в)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 37. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

а доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, большие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 51, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске уменьшилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 17?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $20$, меньше, чем чисел, делящихся на $23$.

а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на $20$?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на $20$?

в) Найдите наибольшее возможное значение $k$.

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Обозначим через $a$ число юношей, отправивших по 5 писем, а через $b$ --- число юношей, отправивших по 16 писем. Тогда общее число юношей равно $a+b$. По условию девушек столько же, значит их тоже $a+b$. Общее количество отправленных писем равно $5a+16b$.

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $20$, меньше, чем чисел, делящихся на $23$.

а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на $20$?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на $20$?

в)Найдите наибольшее возможное значение $k$.

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.

а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417?

б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 563?

в) Найдите минимальное n, при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $n^2$. $(n \neq 1)$.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 035.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 325?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 7?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 032.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 312?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 6?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.