Тип 20 № 21135

Решение:

Докажем ключевое свойство. Пусть $a$ и $b$ --- два числа с доски. Возьмём любые три других числа $c,d,e$. Тогда суммы $a+c+d+e$ и $b+c+d+e$ делятся на $4$ (так как среднее арифметическое этих четырёх чисел целое). Вычитая, получаем $a-b$ делится на $4$. Аналогично, взяв шесть других чисел, получим, что $a-b$ делится на $7$. Следовательно, $a-b$ делится на $28$. Значит, все числа на доске дают одинаковые остатки при делении на $28$. Обратное утверждение также верно: если все числа имеют одинаковый остаток $r$ при делении на $28$, то сумма любых четырёх чисел равна $4r + 28k$, что делится на $4$, а сумма любых семи --- $7r + 28m$, что делится на $7$.

а) Найдём остатки от деления данных чисел на $28$: $$567 = 28 \cdot 20 + 7, \qquad 1414 = 28 \cdot 50 + 14.$$ Остатки различны ($7$ и $14$), значит, эти числа не могут одновременно присутствовать на доске.

Ответ: нет.

б) Заметим, что квадраты четных чисел кратны 4.

Квадраты нечетных чисел можно представить в виде $(4m \pm 1)^2 = 16m^2 \pm8m + 1$.

Значит, число $n^2$ не может при делении на 4 давать остаток 3, а число $567$ имеет именно такой остаток от деления на $3$. Получаем противоречие, следовательно

Ответ: нет.

в) На доске записаны $n$ и $n^2$, значит $$n^2 \equiv n \pmod{28} \quad \Longleftrightarrow \quad n(n-1) \equiv 0 \pmod{28}.$$ Отсюда, как и выше, $$n \equiv 0, 1, 8, 21 \pmod{28}.$$ Так как числа различны, $n \neq 0$ и $n \neq 1$. Проверим наименьшие натуральные $n>1$:

• $n \equiv 0 \pmod{28}$: наименьшее $n=28$;

• $n \equiv 1 \pmod{28}$: наименьшее $n=29$;

• $n \equiv 8 \pmod{28}$: наименьшее $n=8$;

• $n \equiv 21 \pmod{28}$: наименьшее $n=21$. Минимальное --- $n=8$.

Осталось показать, что такое $n$ достижимо. Возьмём $10$ различных чисел, дающих остаток $8$ при делении на $28$, например: $$8,\; 36,\; 64,\; 92,\; 120,\; 148,\; 176,\; 204,\; 232,\; 260.$$ Все они различны, и все имеют остаток $8$ по модулю $28$, значит, условие задачи выполнено. Следовательно, $n=8$ действительно является минимальным.

Ответ: $8$.