Тип 20 № 22749

Решение: Обозначим через $a$ число юношей, отправивших по 4 письма, а через $b$ --- число юношей, отправивших по 21 письму. Тогда общее число юношей равно $a+b$. По условию девушек столько же, значит их тоже $a+b$. Общее количество отправленных писем равно $4a+21b$.

а)

Пусть каждая девушка получила ровно 7 писем. Тогда общее число полученных писем равно $7(a+b)$. Так как все письма были получены, получаем уравнение:

$$4a+21b = 7(a+b).$$

Преобразуем:

$$4a+21b = 7a+7b \quad\Leftrightarrow\quad 14b = 3a \quad\Leftrightarrow\quad a = \frac{14}{3}b.$$

Так как $a$ и $b$ --- целые числа, и по условию $a \ge 2$, $b \ge 2$, наименьшее подходящее значение $b=3$, тогда $a=14$. Проверим:

$$14 \cdot 4 + 3 \cdot 21 = 56 + 63 = 119.$$

Девушек всего $a+b = 14+3 = 17$, каждая получила по 7 писем, всего $17 \cdot 7 = 119$ писем. Всё сходится.

Следовательно, \textbf{да, такое могло быть}.

б)

Пусть все девушки получили поровну, скажем, по $n$ писем каждая. Тогда:

$$4a + 21b = n(a+b).$$

Перепишем:

$$4a + 21b = na + nb \quad\Leftrightarrow\quad a(4-n) + b(21-n) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad a(n-4) = b(21-n).$$

Отсюда $a$ должно делиться на $21-n$, а $b$ --- на $n-4$. Пусть

$$a = k(21-n), \qquad b = k(n-4),$$

где $k$ --- натуральное число (минимально $k=1$). Тогда общее число девушек:

$$a+b = k(21-n) + k(n-4) = k \cdot 17 = 17k.$$

Наименьшее возможное значение достигается при $k=1$, значит девушек минимум $17$.

Ответ: б) $17$.

в)

Пусть всего юношей $m$. Среди юношей $a$ отправили по 4 письма, а $m-a$ отправили по 21 письму. Тогда общее число писем:

$$4a + 21(m-a) = 21m - 17a.$$

Все девушки получили попарно различное количество писем. Чтобы число девушек $m$ было как можно больше, нужно, чтобы количества писем у них были как можно меньше: $0, 1, 2, \ldots, m-1$. Сумма этих чисел равна

$$0 + 1 + 2 + \ldots + (m-1) = \frac{m(m-1)}{2}.$$

Так как общее число писем должно быть не меньше этой суммы, получаем неравенство:

$$21m - 17a \ge \frac{m(m-1)}{2}.$$

Отсюда $21m \ge \frac{m(m-1)}{2}$, то есть при $m>0$:

$$21 \ge \frac{m-1}{2} \quad\Rightarrow\quad m-1 \le 42 \quad\Rightarrow\quad m \le 43.$$

Проверим $m=43$:

$$21 \cdot 43 - 17a \ge \frac{43 \cdot 42}{2} = 903.$$

Левая часть: $903 - 17a \ge 903$ даёт $-17a \ge 0$, что невозможно при $a>0$. Значит, $m=43$ не подходит.

Проверим $m=42$:

$$21 \cdot 42 - 17a \ge \frac{42 \cdot 41}{2} = 861.$$

$$882 - 17a \ge 861 \quad\Rightarrow\quad 17a \le 21 \quad\Rightarrow\quad a \le 1.$$

Но по условию юношей, отправивших 4 письма, должно быть не меньше двух, значит $a=1$ не подходит. Следовательно, $m=42$ не подходит.

Проверим $m=41$:

$$21 \cdot 41 - 17a \ge \frac{41 \cdot 40}{2} = 820.$$

$$861 - 17a \ge 820 \quad\Rightarrow\quad 17a \le 41 \quad\Rightarrow\quad a \le 2.$$

По условию юношей, отправивших 4 письма, должно быть не меньше двух, значит $a=2$ подходит. При этом общее число писем:

$$21 \cdot 41 - 17 \cdot 2 = 861 - 34 = 827.$$

Это число больше, чем $0+1+\ldots+40 = 820$, значит распределение возможно.

Следовательно, наибольшее возможное число девушек равно $41$.

Ответ:

а) да, могло;

б) 17.

в) 41.