Тип 20 № 22730

Решение:

а)

Пусть каждая девушка получила ровно 7 писем. Тогда общее число полученных писем равно $7(a+b)$. Так как все письма были получены, получаем уравнение:

$$5a+16b = 7(a+b).$$

Преобразуем:

$$5a+16b = 7a+7b \quad\Leftrightarrow\quad 9b = 2a \quad\Leftrightarrow\quad a = \frac{9}{2}b.$$

Так как $a$ и $b$ --- целые числа, и по условию $a \ge 2$, $b \ge 2$, наименьшее подходящее значение $b=2$, тогда $a=9$.

Следовательно, да, такое могло быть.

б)

Пусть все девушки получили поровну, скажем, по $n$ писем каждая. Тогда:

$$5a + 16b = n(a+b).$$

Перепишем:

$$5a + 16b = na + nb \quad\Leftrightarrow\quad a(5-n) + b(16-n) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad a(n-5) = b(16-n).$$

Отсюда $a$ должно делиться на $16-n$, а $b$ --- на $n-5$. Пусть

$$a = k(16-n), \qquad b = k(n-5),$$

где $k$ --- натуральное число (минимально $k=1$). Тогда общее число девушек:

$$a+b = k(16-n) + k(n-5) = k \cdot 11 = 11k.$$

Наименьшее возможное значение достигается при $k=1$, значит девушек минимум $11$.

Ответ: б) $11$.

в)

Пусть всего юношей $m$ (и девушек тоже $m$). Среди юношей $a$ отправили по 5 писем, а $m-a$ отправили по 16 писем. Тогда общее число писем:

$$5a + 16(m-a) = 16m - 11a.$$

Все девушки получили попарно различное количество писем. Чтобы число девушек $m$ было как можно больше, нужно, чтобы количества писем у них были как можно меньше: $0, 1, 2, \ldots, m-1$. Сумма этих чисел равна

$$0 + 1 + 2 + \ldots + (m-1) = \frac{m(m-1)}{2}.$$

Так как общее число писем должно быть не меньше этой суммы, получаем неравенство:

$$16m - 11a \ge \frac{m(m-1)}{2}.$$

Отсюда $16m \ge \frac{m(m-1)}{2}$, то есть при $m>0$:

$$16 \ge \frac{m-1}{2} \quad\Rightarrow\quad m-1 \le 32 \quad\Rightarrow\quad m \le 33.$$

Проверим $m=33$:

$$16 \cdot 33 - 11a \ge \frac{33 \cdot 32}{2} = 528.$$

Левая часть: $528 - 11a \ge 528$ даёт $ -11a \ge 0$, что невозможно при $a>0$. Значит, $m=33$ не подходит.

Проверим $m=31$:

$$16 \cdot 31 - 11a \ge \frac{31 \cdot 30}{2} = 465.$$

$$496 - 11a \ge 465 \quad\Rightarrow\quad 11a \le 31 \quad\Rightarrow\quad a \le 2.$$

По условию юношей, отправивших 5 писем, должно быть не меньше двух, значит $a=2$ подходит. При этом общее число писем:

$$16 \cdot 31 - 11 \cdot 2 = 496 - 22 = 474.$$

Это число больше, чем $0+1+\ldots+30 = 465$, значит распределение возможно.

Следовательно, наибольшее возможное число девушек равно $31$.

Ответ: в) $31$.