Тип 20 № 22828

Решение:

Докажем ключевое свойство. Пусть $a$ и $b$ --- два числа с доски. Возьмём любые $k-1$ других чисел ($k \in \{3,4,5,6\}$). Тогда суммы $a + c_1 + \dots + c_{k-1}$ и $b + c_1 + \dots + c_{k-1}$ делятся на $k$ (так как среднее арифметическое этих $k$ чисел целое). Вычитая, получаем, что $a-b$ делится на $k$. Следовательно, $a-b$ делится на каждое из чисел $3,4,5,6$, а значит, и на их наименьшее общее кратное: $$\text{НОК}(3,4,5,6) = 60.$$ Таким образом, все числа на доске дают одинаковые остатки при делении на $60$.

Обратное утверждение также верно: если все числа имеют одинаковый остаток $r$ при делении на $60$, то сумма любых $k$ чисел ($k=3,4,5,6$) равна $k r + 60m$, что делится на $k$, поскольку $60$ кратно каждому из этих $k$. Значит, условие задачи равносильно тому, что все числа сравнимы по модулю $60$.

Найдём остаток числа $30\,021$ при делении на $60$: $$30\,021 = 60 \cdot 500 + 21.$$ Следовательно, каждое число на доске должно иметь вид $60t + 21$, то есть давать остаток $21$ при делении на $60$.

a) Проверим число $351$: $$351 = 60 \cdot 5 + 51.$$ Остаток $51$ не равен $21$, значит, число $351$ не может быть среди записанных.

б) Предположим, что отношение двух чисел равно $11$, то есть существуют $a$ и $b$ такие, что $a = 11b$. Оба числа должны давать остаток $21$ по модулю $60$. Запишем $b = 60k + 21$. Тогда $$a = 11(60k + 21) = 660k + 231 = 60(11k + 3) + 51.$$ Получаем, что $a$ даёт остаток $51$ при делении на $60$, а должно быть $21$. Противоречие. Следовательно, отношение $11$ невозможно.

в) Пусть отношение двух чисел равно целому числу $n$, то есть $a = n b$, где $a$ и $b$ --- различные числа с доски. Так как $b$ имеет вид $60k + 21$, то $$a = n(60k + 21).$$ Чтобы $a$ тоже давало остаток $21$ по модулю $60$, разность $a - 21$ должна делиться на $60$: $$a - 21 = n(60k + 21) - 21 = 60kn + 21n - 21 = 60kn + 21(n-1).$$ Первое слагаемое $60kn$ уже кратно $60$, поэтому остаётся потребовать, чтобы $21(n-1)$ делилось на $60$. Сократим на $3$ (наибольший общий делитель $21$ и $60$): $$7(n-1) \text{ делится на } 20.$$ Так как $7$ и $20$ взаимно просты, это равносильно тому, что $n-1$ кратно $20$. Наименьшее натуральное $n>1$, удовлетворяющее этому условию, равно $21$.

Осталось убедиться, что такое $n$ действительно достижимо. Возьмём, например, $b = 21$ (оно даёт остаток $21$). Тогда $a = 21 \cdot 21 = 441$, и $441 \equiv 21 \pmod{60}$ (так как $441 = 60 \cdot 7 + 21$). Кроме того, на доске обязательно должно быть число $30\,021$, которое также даёт остаток $21$. Дополним набор ещё семью различными числами, дающими остаток $21$ при делении на $60$, например:
$$21,\; 81,\; 141,\; 201,\; 261,\; 321,\; 381,\; 441,\; 501,\; 30\,021.$$
Все они различны, их 10, и все имеют остаток $21$ по модулю $60$, значит, условие задачи выполнено. Следовательно, минимальное значение $n$ равно $21$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $21$.