Тип 20 № 21047

Решение:

а) В каждой паре одно число втрое больше другого, значит, числа в паре относятся как $1:3$, а их сумма кратна $4$. Следовательно, общая сумма всех выбранных чисел должна делиться на $4$. Но $170$ на $4$ не делится, значит, разбиение на такие пары невозможно.

б) Если $k=11$, то выбраны все числа от $1$ до $22$, их сумма равна $$1+2+\ldots+22 = \frac{22\cdot23}{2} = 253.$$ С другой стороны, суммы чисел в каждой из $11$ пар по условию различны и каждая не превосходит $27$. Тогда наибольшая возможная сумма всех попарных сумм равна $$27+26+\ldots+17 = \frac{27+17}{2}\cdot 11 = 242.$$ Получили, что $253 \le 242$, что невозможно. Значит, $k=11$ не подходит.

в) В предыдущем пункте доказано, что $k=11$ невозможно. Приведём пример для $k=10$: $$(13;14), \ (11;15), \ (9;16), \ (7;17), \ (5;18), \ (3;19), \ (1;20), \ (2;8), \ (4;10), \ (6;12).$$ Все пары состоят из различных чисел от $1$ до $20$, суммы в парах различны и не превосходят $27$ (наибольшая сумма равна $27$). Следовательно, $k=10$ достижимо.

Значит, наибольшее возможное значение $k$ равно $10$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $10$.