Тип 20 № 15845

а) Число 1236 подойдёт: $$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 6 = 36 = 3 \cdot 12 = 3 \cdot (1 + 2 + 3 + 6).$$

б) Если наименьшая цифра равна хотя бы 2, то так как все цифры различны, их произведение хотя бы $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$, а сумма не больше $9 \cdot 4 = 36$. Значит, неравенство не выполнено.

Если есть цифра 0, то неравенство очевидно верно.

Пусть есть цифра 1. Если при этом нет цифры 2, то произведение цифр равно хотя бы $1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$, что больше наибольшей суммы цифр, равной $36 = 4 \cdot 9$. Пусть есть цифры 1 и 2. Тогда произведение не меньше чем $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$, а сумма цифр не больше чем $1 + 2 + 9 + 9 = 21$. И в этом случае произведение больше суммы.

Значит, нам нужно просто найти количество четырёхзначных чисел, в которых есть цифра 0. Легче это посчитать как разность количества четырёхзначных чисел и чисел, в которых нуля точно нет. Всего чисел $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$. Посчитаем количество чисел, в которых нет 0: их $9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$. Тогда ответом будет $4536 - 3024 = 1512$.

в) Очевидно, что если при каких-то $a, b, c$ и $d$ число $k$ — наибольшее, то ни одна из цифр не равна 0.

Будем перебирать значения $k$. Так как $k$ — двузначное число, то $k < 100$.

Начнём перебор.

• Если $k = 99$, то $\overline{abcd}$ делится на 11. Такое невозможно, так как $a, b, c, d$ — цифры.
• Если $k = 98 = 7^2 \cdot 2$, то $\overline{abcd}$ делится на 49, то есть две цифры из четырёх равны 7. Тогда третья должна быть чётной. Пусть не умаляя общности $a = 7$, $b = 7$, $c = 2x$, где $1 \le x \le 4$. Тогда имеем: $$xd = 14 + 2x + d.$$ - Пусть $x = 1$, тогда $$xd = d < 10 < 14 < 14 + 2x + d.$$ - Пусть $x = 2$, тогда при любом $d \le 9$ $$xd = 2d < 18 + d = 14 + 2x + d.$$ - Пусть $x = 3$, тогда $$xd = 3d,\quad 14 + 2x + d = 20 + d.$$ Если $d \le 6$, то $$xd \le 18 < 20 + d.$$ Если $d = 7$, то $$xd = 21 < 20 + 7 = 27.$$ Если $d = 8$, то $$xd = 24 < 20 + 8 = 28.$$ Если $d = 9$, то $$xd = 27 < 20 + 9 = 29.$$ - Пусть $x = 4$, тогда $$xd = 4d,\quad 14 + 2x + d = 22 + d.$$ Если $d \le 5$, то $$xd \le 20 < 22 + d.$$ Если $d = 6$, то $$xd = 24 < 22 + 6 = 28.$$ Если $d = 7$, то $$xd = 28 < 22 + 7 = 29.$$ Если $d = 8$, то $$xd = 32 > 22 + 8 = 30.$$ Если $d = 9$, то $$xd = 36 > 22 + 9 = 31.$$ Значит, $k \ne 98$.
• Если $k = 97$, то $\overline{abcd}$ делится на 97. Такое невозможно, так как $a, b, c, d$ — цифры.

На 96 есть пример — число из цифр 5, 8, 8 и 9. Произведение его цифр равно $2^6 \cdot 3^2 \cdot 5$, а сумма цифр равна $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Тогда $$k = \frac{2^6 \cdot 3^2 \cdot 5}{2 \cdot 3 \cdot 5} = 2^5 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96.$$

Тогда наименьшее число из этих цифр равняется 5889.

Докажем, что числа меньше 5889 не подходят.

Пусть $\overline{abcd} < 5889$, тогда заметим следующее: $$abcd = 96(a + b + c + d) \Rightarrow bcd = 96 + 96 \cdot \frac{b + c + d}{a}.$$

Причём так можно сделать с любой цифрой. Тогда докажем, что наименьшая цифра не меньше 5. Пусть это не так. Скажем, не умаляя общности, что $a \le 4$ и $a \le b \le c \le d$. Тогда $$bcd = 96 + 96 \cdot \frac{b + c + d}{a} \ge 96 + 96 \cdot \frac{b + c + d}{4} = 96 + 24(b + c + d).$$

Или же $$d(bc - 24) \ge 96 + 24(b + c).$$

Тогда $bc \ge 24$, так как иначе при сравнении неположительного числа с положительным результат сравнения будет ложным. Тогда имеет место неравенство $$9(bc - 24) \ge d(bc - 24) \ge 96 + 24(b + c).$$

Теперь рассмотрим неравенство $$9(bc - 24) \ge 96 + 24(b + c),$$ $$9bc \ge 312 + 24(b + c),$$ $$b(9c - 24) \ge 312 + 24c.$$

Аналогично скажем, что $9c \ge 24$, иначе сравнение окажется ложным, и вновь воспользуемся тем, что $b \le 9$ и рассмотрим неравенство $$9(9c - 24) \ge b(9c - 24) \ge 312 + 24c.$$

Проверим на истинность: $$81c - 216 \ge 312 + 24c \Rightarrow c \ge \frac{528}{57} > 9.$$

Получили противоречие. Тогда наименьшая цифра числа действительно не меньше 5. Тогда, возвращаясь к $\overline{abcd} < 5889$, $a = 5$, так как значения меньше 4 $a$ не принимает, а в других случаях $\overline{abcd} > 5889$.

Но так как $\overline{abcd}$ кратно 96, а $a = 5$, то $bcd$ кратно 96, причём это число кратно 32 и 3. Поймём, что если среди $b, c, d$ есть 9, то оставшиеся две цифры точно равны 8 и 8, так как возможных чётных цифр больше 4 всего 2 — это 6 и 8, но с учётом кратности произведения этих двух цифр на 32 = $2^5$ подойдут только две восьмёрки, так как степень вхождения двойки в число 6 равна 1, а в число 8 равна 3. Так мы получим уже имеющееся 5889 (поскольку мы определили однозначно все цифры).

Но тогда среди цифр $b, c, d$ однозначно есть цифра 6, поскольку иначе $bcd$ не будет кратно 3 (цифр больше 4 и кратных трём, кроме 6 и 9, нет). Тогда произведение оставшихся цифр кратно 16 = $2^4$. Это либо две 8, либо 8 и 6 (так как двух 6 не хватит для получения $2^4$). Разберём эти случаи: $$\frac{5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 8}{5 + 6 + 6 + 8} = \frac{1440}{25} = 57{,}6 \ne 96,$$ $$\frac{5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 8}{5 + 6 + 8 + 8} = \frac{1920}{27} = 71\frac{1}{9} \ne 96.$$

Значит, наименьшее число $\overline{abcd}$, при котором $k = 96$, равно 5889.

Ответ:

• [а)]а) Да, может
• [б)] б)1512
• [в)] в)5889