Тип 20 № 15839

а) Да, если $A = 3^6 = 729$, то делителями числа $A$, очевидно, являются степени тройки от $0$ до $6$, то есть числа $3^0, 3^1, \dots, 3^6$. Их ровно $7$.

б) Рассмотрим каноническое разложение числа $A$. Это такое разложение на простые множители, которое имеет вид:

$$A = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k},$$

где числа $p_i$ — простые числа. Поймём, что количество простых делителей вычисляется по формуле

$$(\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1)\cdots(\alpha_k + 1)$$

Так как любой делитель числа $A$ должен в каноническом разложении иметь степени вхождения каждого своего простого делителя не больше, чем у числа $A$. Для каждого простого делителя $p_i$ в числе $A$ мы можем выбрать его степень вхождения от $0$ до $\alpha_i$, то есть $\alpha_i + 1$. Тогда количество способов составить делитель $A$ из простых чисел и степеней их вхождения как раз вычисляется по формуле выше.

Если натуральных делителей у числа 25, то, так как $25 = 5 \cdot 5$, мы имеем два варианта:

1. $A = p^{24}$. Но тогда $A \geq 2^{24} > 2^{10} = 1024 > 1000$. То есть $A$ не может быть трёхзначным в таком случае.

2. $A = p_1^1 \cdot p_2^4$. Но тогда $A \geq 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296 > 1000$. То есть в таком случае $A$ тоже не может быть трёхзначным.

в) Поймём, что у числа $A$ не более $4$ различных простых делителей. Иначе это число не менее

$$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310 > 1000$$

Если у числа $A$ ровно $4$ простых делителя, то докажем, что со степенью вхождения больше 1 может быть только один простой делитель. Действительно, иначе

$$A \geq 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 1260 > 1000$$

Тогда в таком случае максимальное количество делителей достижимо, когда 2 входит с максимально возможной степенью, иначе

$$A = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840 > 500$$

Тогда увеличение числа в 2 раза уже не может дать трёхзначное число.

У этого числа всего $4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ делителя. Тогда $k \geq 32$.

Если у числа $A$ ровно $3$ различных простых делителя. Обозначим степени их вхождения за $\alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \alpha_3$. Заметим, что

$$\alpha_1 \geq 3, \text{ иначе общее количество делителей не более } (2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 27 < 32$$

$$\alpha_3 < 2 \Rightarrow \alpha_3 = 1, \text{ иначе } A \geq 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 1800$$

Тогда имеем:

$$(\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1)(1 + 1) \geq 32 \Rightarrow (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \geq 16$$

$$\alpha_2 < 3, \text{ иначе } A \geq 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 = 1080$$

Откуда получаем, что $\alpha_2 = 2$ или $\alpha_2 = 1$.

Объединим эти наблюдения, получаем следующее:

• Если $\alpha_2 = 2$, то по наблюдению 2 $$(\alpha_1 + 1) \cdot 3 \geq 16 \Rightarrow \alpha_1 \geq 5$$ Тогда $$A \geq 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 = 1440$$ Что невозможно
• Если $\alpha_2 = 1$, то по наблюдению 2 $$(\alpha_1 + 1) \cdot 2 \geq 16 \Rightarrow \alpha_1 \geq 7$$ Тогда $$A \geq 2^7 \cdot 3 \cdot 5 = 1920$$

Итого получили, что в случае, если $A$ имеет ровно три различных простых делителя, то количество натуральных делителей у $A$ не может превышать $32$.

Пусть у числа $A$ ровно $2$ различных простых делителя. Обозначим степени их вхождения за $\alpha_1 \geq \alpha_2$. Заметим, что $\alpha_2 \leq 3$, иначе

$$A \geq 2^4 \cdot 3^4 = 1296$$

Переберем значения $\alpha_2$:

• Если $\alpha_2 = 3$, то $$(\alpha_1 + 1) \cdot 4 \geq 32 \Rightarrow \alpha_1 \geq 7$$ Тогда $$A \geq 2^7 \cdot 3^3 = 128 \cdot 27 > 1000$$
• Если $\alpha_2 = 2$, то $$(\alpha_1 + 1) \cdot 3 \geq 32 \Rightarrow \alpha_1 \geq 9$$ Тогда $$A \geq 2^9 \cdot 3^2 = 512 \cdot 9 > 1000$$
• Если $\alpha_2 = 1$, то $$(\alpha_1 + 1) \cdot 2 \geq 32 \Rightarrow \alpha_1 \geq 14$$ Тогда $$A \geq 2^{14} \cdot 3^1 > 1000$$

Как мы видим, ни один из вариантов не возможен.

Если у $A$ ровно $1$ простой делитель, то степень его вхождения хотя бы $31$, но тогда очевидно, что $A$ не трёхзначное.

Тогда максимальное возможное значение $k$ равняется $32$ и достигается при $A = 840$.

Ответ:

• [а)] а)Да
• [б)] б)Нет
• [в)] в)32