Тип 20 № 15865

Пусть масса новой детали равна $m$ кг, тогда масса старой детали равна $m+0{,}1$ кг. Пусть из $21$ кг материала изготавливается $n$ деталей старого типа. Тогда из $18$ кг материала изготавливается $n+2$ деталей нового типа.

По условию $$\begin{cases} 21 = (m+0{,}1)n + q_1, & 0 \le q_1 < m+0{,}1, \\ 18 = m(n+2) + q_2, & 0 \le q_2 < m. \end{cases}$$

Отсюда $$\begin{cases} \dfrac{21}{m+0{,}1} = n + \dfrac{q_1}{m+0{,}1}, \\ \dfrac{18}{m} = n + 2 + \dfrac{q_2}{m}. \end{cases}$$ Так как $$0 \le \frac{q_1}{m+0{,}1} < 1, \qquad 0 \le \frac{q_2}{m} < 1,$$ получаем систему неравенств $$\begin{cases} n \le \dfrac{21}{m+0{,}1} < n+1, \\ n+2 \le \dfrac{18}{m} < n+3. \end{cases}$$

Вычитая первое неравенство из второго, получаем $$1 < \frac{18}{m} - \frac{21}{m+0{,}1} < 3.$$

Приводя к общему знаменателю и учитывая $m>0$, получаем эквивалентную систему $$\begin{cases} -3m^2 - 3{,}3m + 1{,}8 < 0, \\ - m^2 - 3{,}1m + 1{,}8 > 0. \end{cases}$$

Решая её, находим $$m \in (0{,}4;\,0{,}5).$$

а) Если на $50$ деталей хватает $18$ кг, а на $51$ — нет, то $$50m < 18 < 51m,$$ то есть $$\frac{18}{51} < m < \frac{18}{50}.$$ Но $$\frac{18}{50} = 0{,}36 < 0{,}4,$$ что противоречит найденному ранее условию $m\in(0{,}4;0{,}5)$. Следовательно, такой случай невозможен.

б) Аналогично, если $$32m < 18 < 33m,$$ то $$\frac{18}{33} < m < \frac{18}{32}.$$ Но $$\frac{18}{32} = 0{,}5625 > 0{,}5,$$ а $$\frac{18}{33} > 0{,}5,$$ что также не пересекается с интервалом $(0{,}4;0{,}5)$. Следовательно, и этот случай невозможен.

в) Пусть из $10$ кг материала можно изготовить $x$ новых деталей массы $m$. Тогда $$10 = xm + q,\qquad 0 \le q < m,$$ то есть $$xm \le 10 < (x+1)m.$$ Отсюда $$\frac{10}{x+1} < m \le \frac{10}{x}.$$

С учётом условия $m \in (0{,}4;0{,}5)$ получаем $$\begin{cases} \displaystyle \frac{10}{x} > 0{,}4 \;\Rightarrow\; x < 25,\\[6pt] \displaystyle \frac{10}{x+1} < 0{,}5 \;\Rightarrow\; x > 19. \end{cases}$$

Так как $x$ — натуральное число, возможны значения $$x = 20, 21, 22, 23, 24.$$

Ответ:

• [a)]а) Нет
• [б)] б)Нет
• [в)] в)$20,\,21,\,22,\,23,\,24$