Тип 20 № 15838

а) Да, могло. Если в классе училось 6 девочек и 18 мальчиков, то процентная доля девочек была равна $$\frac{6}{6+18}\cdot 100\%=\frac{6}{24}\cdot 100\%=25\%<26\%.$$ При этом условие на общее количество детей в классе выполняется, так как $$10<6+18<27.$$

б) Пусть изначально в классе учились $n$ детей, при этом $d$ из них — девочки. В этом случае процентная доля девочек составляла $$\frac{d}{n}\cdot 100\%.$$ Мы знаем, что изначальная процентная доля девочек была не более 26%, значит, $$\frac{d}{n}\le \frac{26}{100}\;\Rightarrow\;100d\le 26n.$$

После перевода ещё одной девочки количество девочек в классе стало равно $d+1$, а количество детей стало равно $n+1$. Тогда в этом случае процентная доля девочек составила $$\frac{d+1}{n+1}\cdot 100\%.$$ Предположим, она стала равной 30%, тогда $$\frac{d+1}{n+1}=\frac{3}{10}.$$

Тогда $n+1$ делится на 10, поскольку $\frac{3}{10}$ — несократимая дробь. Так как $$11<n+1<28$$ по условию, то единственное возможное значение $n=19$. Тогда $$d+1=0{,}3\cdot 20=6 \Rightarrow d=5.$$

При этом имеем: $$\frac{d}{n}=\frac{5}{19}>\frac{26}{100}=\frac{13}{50}.$$ Действительно, $$5\cdot 50=250>247=13\cdot 19.$$ Тогда такое невозможно.

в) В пункте б) мы доказали, что процентная доля девочек после перевода в класс ещё одной не могла достигать 30%. Давайте докажем, что она меньше 33%.

Мы знаем, что изначальная процентная доля девочек была не более 26%, значит, $$\frac{d}{n}\le\frac{26}{100}\;\Rightarrow\;100d\le 26n.$$

Тогда сравним $$\frac{d+1}{n+1}\;\vee\;\frac{33}{100},$$ $$100(d+1)\;\vee\;33(n+1),$$ $$100d+100\;\vee\;33n+33,$$ $$100d+67\;\vee\;33n.$$

Заметим, что $100d\le 26n$. Тогда сравним $$26n+67\;\vee\;33n,$$ $$67\;\vee\;7n.$$

Заметим, что по условию $10<n$. Тогда $$67<70<7n.$$

Таким образом, $$100d+67\le 26n+67<26n+7n=33n.$$ Следовательно, $$\frac{d+1}{n+1}\cdot 100\%<33\%.$$

Значит, наибольшее целое значение, которое могла принимать процентная доля девочек, равно 32%. Тогда должно получиться $$\frac{d+1}{n+1}=\frac{32}{100}=\frac{8}{25}.$$

Так как $\frac{8}{25}$ — несократимая дробь, то $n+1$ делится на 25. В таком случае, так как $$11<n+1<28,$$ то $n+1=25$. Но тогда $$n=24,\quad d=\frac{8}{25}\cdot 25-1=7.$$

Тогда имеем: $$\frac{d}{n}=\frac{7}{24}>\frac{26}{100}=\frac{13}{50}.$$ Действительно, $$7\cdot 50=350>312=24\cdot 13.$$

Значит, наибольшее целое значение, которое могла принимать процентная доля девочек, равно 31%. Но тогда должно получиться $$\frac{d+1}{n+1}=\frac{31}{100}.$$

Так как $\frac{31}{100}$ — несократимая дробь, то $n+1$ делится на 100, что невозможно, так как $$11<n+1<28.$$

В пункте б) мы доказали, что процентная доля девочек не могла стать равной 30%. Значит, наибольшее целое значение, которое могла принимать процентная доля девочек, равно 29%. Но тогда должно получиться $$\frac{d+1}{n+1}=\frac{29}{100}.$$

Так как $\frac{29}{100}$ — несократимая дробь, то $n+1$ делится на 100, что невозможно, так как $$11<n+1<28.$$

Значит, наибольшее целое значение, которое могла принимать процентная доля девочек, равно 28%.

Если девочек было 6, а мальчиков было 18, то после перевода девочки в группу процентная доля девочек стала равной $$\frac{6+1}{6+18+1}\cdot 100\%=\frac{7}{25}\cdot 100\%=28\%.$$

Причём до перевода девочки в класс процентная доля девочек составляла $$\frac{6}{18+6}\cdot 100\%=\frac{6}{24}\cdot 100\%=25\%<26\%.$$ То есть условие задачи выполняется.

Ответ:

• [a)]а) Да
• [б)]б) Нет
• [в)]в) 28%