Тип 20 № 15848

а) Покажем, как переместить ровно три камня из второй коробки в третью: $$(95;104;0)\to(94;103;2)\to(93;102;4)\to(95;101;3).$$

Повторяя эту операцию трижды, получаем ситуацию $$(95;95;9).$$ Заметим, что в первых двух коробках поровну камней, поэтому можно брать по одному камню из первых двух коробок и класть в третью, пока камни не закончатся. Тогда в третьей коробке окажется $$95+104=199$$ камней.

Следовательно, ответ положительный.

б) Рассмотрим разность числа камней во второй и первой коробках. Пусть в первой коробке $a$ камней, а во второй — $b$ камней. Тогда разность равна $b-a$.

• Если переложить два камня в первую коробку, то разность станет $$(b-1)-(a+2)=b-a-3.$$
• Если переложить два камня во вторую коробку, то разность станет $$(b+2)-(a-1)=b-a+3.$$
• Если переложить два камня в третью коробку, то разность станет $$(b-1)-(a-1)=b-a.$$

Таким образом, после любой операции разность либо не меняется, либо изменяется на $3$, то есть всегда изменяется на число, кратное $3$.

Изначально $$104-95=9.$$ В требуемой конфигурации разность должна быть $$50-100=-50.$$ Изменение разности равно $$9-(-50)=59,$$ но $59$ не делится на $3$. Следовательно, такая ситуация невозможна.

в) Аналогично предыдущему пункту, разность между любыми двумя коробками может изменяться только на число, кратное $3$.

Изначально разность между второй и первой коробками равна $$104-95=9.$$ По условию во второй коробке осталось $2$ камня. Пусть в первой коробке оказалось $a$ камней. Тогда $$2-a = 9 + 3k,\quad k\in\mathbb{Z},$$ откуда $$a = 11 + 3k.$$ Так как количество камней неотрицательно, минимально возможное значение $a=2$.

Следовательно, в первой и второй коробках останется по $2$ камня, а значит, в третьей коробке может оказаться не более $$199 - 2 - 2 = 195$$ камней.

Покажем, что это значение достижимо. Действуем так же, как в пункте (а), но не выполняем два последних действия. Тогда в первой и второй коробках останется по $2$ камня, а в третьей окажется ровно $195$ камней.

Ответ:

• [a)] а)Могло
• [б)] б)Нет, не могло
• [в)] в)$195$