Тип 20 № 15828

а) Пусть $$100a + 10b + c = 5abc.$$ Да, пример: $$a = 1,\ b = 7,\ c = 5 \Rightarrow \overline{abc} = 100 + 70 + 5 = 175,\quad abc = 1 \cdot 7 \cdot 5 = 35.$$ $$5 \cdot abc = 5 \cdot 35 = 175 = \overline{abc}.$$ Ответ: Да.

б) Проверим возможность равенства: $$100a + 10b + c = 120abc.$$

Минимальное значение правой части: $$a = b = c = 1 \Rightarrow abc = 1,\quad 120 \cdot abc = 120.$$

Максимум левой части: $$a = b = c = 1 \Rightarrow \overline{abc} = 100 + 10 + 1 = 111.$$

Но $120 > 111$, и при увеличении $a$, $b$ или $c$, произведение $abc$ увеличивается быстрее, чем сумма $100a + 10b + c$.

Вывод: левая часть не может быть равна 120-ти произведениям $abc$.

Ответ: Нет, невозможно.

в) Рассмотрим отношение: $$\frac{\overline{abc}}{abc} = \frac{100a + 10b + c}{abc}.$$

Преобразуем: $$\frac{100a + 10b + c}{abc} = \frac{100}{bc} + \frac{10}{ac} + \frac{1}{ab}.$$

Чтобы отношение было наименьшим, необходимо, чтобы все слагаемые были минимальными, то есть знаменатели — максимальными.

Максимум: $a = b = c = 9$.

$$abc = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729,\quad \overline{abc} = 100 \cdot 9 + 10 \cdot 9 + 9 = 999.$$ $$\frac{999}{729} = \frac{111}{81} = \frac{37}{27}.$$

Ответ: $\dfrac{37}{27}$.

Итоговые ответы:

• [а)]а) Да;
• [б)]б) Нет;
• [в)] в)$\dfrac{37}{27}$.