Тип 20 № 15840

Разложим число $A$ на простые множители, получим $$A=p_1^{\alpha_1}\cdot \ldots \cdot p_n^{\alpha_n}.$$

Пусть число $b$ — делитель числа $A$. Заметим, что у $b$ не может быть простых делителей, которых нет в $A$, так как если они есть, то $A$ на $b$ не поделится. Хорошо, пусть $$b=p_1^{\beta_1}\cdot \ldots \cdot p_n^{\beta_n},$$ при этом, возможно, $\beta_i=0$ для некоторых $i$. Тогда, так как $b$ — делитель числа $A$, то для любого $i$ верно, что $\beta_i\le \alpha_i$.

Попробуем посчитать количество делителей числа $A$. Для этого посчитаем, сколько есть наборов $\beta_i$, которые подходят под наше условие. Выбрать $\beta_i$ есть $\alpha_i+1$ вариант: $0,1,\ldots,\alpha_i$. Тогда делителей у числа $A$ ровно $$(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_n+1).$$

Теперь начнём решать пункты задачи.

а) Если число имеет $15=5\cdot 3$ делителей, то чтобы построить пример, достаточно взять два различных простых числа и возвести их в степени $5-1=4$ и $3-1=2$.

Трёхзначное число $$144=2^4\cdot 3^2$$ подходит, так как у него $$(4+1)\cdot(2+1)=5\cdot 3=15$$ делителей.

б) Если число имеет $28=7\cdot 2\cdot 2$ делителей, то чтобы построить пример, достаточно взять три различных простых числа и возвести их в степени $7-1=6$, $2-1=1$ и $2-1=1$.

Трёхзначное число $$960=2^6\cdot 3^1\cdot 5^1$$ подходит, так как у него $$(6+1)\cdot(1+1)\cdot(1+1)=7\cdot 2\cdot 2=28$$ делителей.

в) Докажем, что у числа $A$ менее $5$ различных простых делителей. Пусть это не так. Тогда $$A\ge 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310,$$ так как это $5$ наименьших различных простых делителей. Значит, у $A$ $5$ и более простых делителей быть не может.

• Пусть у числа $A$ ровно $4$ различных простых делителя. Если хотя бы $2$ из них входят в число $A$ в степени $\ge 2$, то $$A\ge 2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=1260,$$ а число $A$ трёхзначное. Тогда в $A$ входит не более одного простого в степени $\ge 2$. Тогда $3$ простых входят в $A$ ровно в $1$ степени. Поймём, что если одно простое входит в степени ровно $2$, а остальные в степени $1$, то всего делителей $$3\cdot 2\cdot 2\cdot 2=24<30.$$ Значит, наше простое входит в степени $\ge 3$. Если оно входит в степени $\ge 4$, то $$A\ge 2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7=1680,$$ чего не может быть. Значит, одно простое входит в степени $3$, а остальные — в степени $1$. Если степень $3$ у простого числа, большего $2$, то $$A\ge 2\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7=1890,$$ значит, такого не могло быть. Если же степень $3$ у двойки, то $$A=2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7=840,$$ оно трёхзначное, количество его делителей равно $$4\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32>30.$$
• Пусть у числа $A$ ровно $3$ различных простых делителя. Обозначим степени их вхождения за $$\alpha_1\ge \alpha_2\ge \alpha_3.$$ Заметим, что: 1. $\alpha_1\ge 3$, иначе общее количество делителей не более $$(2+1)\cdot(2+1)\cdot(2+1)=27<30.$$ 1. $\alpha_3<2\Rightarrow \alpha_3=1$, иначе $$A\ge 2^3\cdot 3^2\cdot 5^2=1800.$$ Тогда имеем: $$(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)(1+1)\ge 30 \Rightarrow (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\ge 15.$$ 1. $\alpha_2<3$, иначе $$A\ge 2^3\cdot 3^3\cdot 5=1080.$$ Откуда получаем, что $\alpha_2=2$ или $\alpha_2=1$. Объединяя эти наблюдения, получаем следующее: - Если $\alpha_2=2$, то по наблюдению $2$ $$(\alpha_1+1)\cdot 3\ge 15 \Rightarrow \alpha_1\ge 4.$$ Тогда $$A\ge 2^4\cdot 3^2\cdot 5=720.$$ - Если $\alpha_2=1$, то по наблюдению $2$ $$(\alpha_1+1)\cdot 2\ge 15 \Rightarrow \alpha_1\ge 7.$$ Тогда $$A\ge 2^7\cdot 3\cdot 5=1920.$$ Итого, получили, что единственный возможный вариант — $$\alpha_1=4,\;\alpha_2=2,\;\alpha_3=1.$$ Заметим, что $$2^2\cdot 3^4\cdot 5=1620,\quad 2^4\cdot 3^1\cdot 5^2=1200,\quad 2^4\cdot 3^2\cdot 7=1008.$$ Если же $A$ не делится на $2$, то $$A\ge 3^4\cdot 5^2\cdot 7\ge 2025\cdot 7>1000.$$ Поэтому подходит только $$A=2^4\cdot 3^2\cdot 5^1=720.$$
• Пусть у числа $A$ ровно $2$ различных простых делителя. Обозначим степени их вхождения за $$\alpha_1\ge \alpha_2.$$ Заметим, что $\alpha_2\le 3$, иначе $$A\ge 2^4\cdot 3^4=1296.$$ Переберём значения $\alpha_2$: - Если $\alpha_2=3$, то $$(\alpha_1+1)\cdot 4\ge 30 \Rightarrow \alpha_1\ge 7,$$ тогда $$A\ge 2^7\cdot 3^3=128\cdot 27>1000.$$ - Если $\alpha_2=2$, то $$(\alpha_1+1)\cdot 3\ge 30 \Rightarrow \alpha_1\ge 9,$$ тогда $$A\ge 2^9\cdot 3^2=512\cdot 9>1000.$$ - Если $\alpha_2=1$, то $$(\alpha_1+1)\cdot 2\ge 30 \Rightarrow \alpha_1\ge 14,$$ тогда $$A\ge 2^{14}\cdot 3^1>1000.$$ Как мы видим, ни один из вариантов не возможен.
• Если у $A$ ровно $1$ простой делитель, то степень его вхождения хотя бы $29$, но тогда очевидно, что $A$ не трёхзначное.

Таким образом, мы получили, что возможны только $2$ варианта: $$720,\;840.$$

Ответ:

• [a)]а) Да, может
• [б)] б)Да, может
• [в)] в)$720,\;840$