Показательные неравенства заменой

Решите неравенство: $\frac{2^x + 8}{2^x - 8} + \frac{2^x - 8}{2^x + 8} \geq \frac{2^{x + 4} + 96}{4^x - 64}$

Решите неравенство: $\frac{3^x + 9}{3^x - 9} + \frac{3^x - 9}{3^x + 9} \geq \frac{4\cdot3^{x + 1} + 144}{9^x - 81}$ {Решение.} \textbf{Решение: }

Сделаем замену $3^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t + 9}{t - 9} + \frac{t - 9}{t + 9} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t + 9)^2 + (t - 9)^2}{(t - 9)(t + 9)} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^2 + 18t + 81 + t^2 - 18t + 81}{(t - 9)(t + 9)} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 + 162}{(t - 9)(t + 9)} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{2t^2 + 162 - 12t - 144}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 - 12t + 18}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t^2 - 6t + 9)}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t - 3)^2}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$$

Получаем:

Ответ: $x \in \{1\} \cup (2; +\infty)$

Решите неравенство $\frac{0,2^x - 125}{4^x-2^{x + 2,5} + 8} \leq 0$

Решите неравенство $\frac{31 - 5\cdot 2^x}{4^x - 24\cdot 2^x + 128} \geq 0,25$

Решите неравенство $\frac{2^x}{2^x - 8} +\frac{2^x + 8}{2^x - 4} + \frac{66}{4^x - 12\cdot2^x + 32} \leq 0$

Решите неравенство $\frac{2\cdot3^x}{3^x - 9} + \frac{3^x + 9}{3^x - 3} + \frac{84}{9^x - 12\cdot3^x + 27} \leq 0$

Решите неравенство $\frac{27^x -9^{x + 1} +3^{x + 3} -27}{50x^2 -110x + 60,5} \geq 0$

Решите неравенство $\frac{0,25^x - 4}{16^x-4^{x + 2} + 64} \leq 0$

Решите неравенство $\frac{2^{3x} - 2\cdot4^{x + 1} + 5\cdot2^{x + 2} - 16}{x - 1} \geq 0$

Решите неравенство $\frac{27^x -3\cdot9^{x + 1} +3^{x + 5} -729}{50x^2 + 10x + 0,5} \leq 0$

Решите неравенство $\frac{x^3 - x^2 - x + 1}{4^{x^2} -16\cdot2^{x^2} + 64} \leq 0$

Решите неравенство $\frac{x^3 + x^2 - x - 1}{4^{x^2} -8\cdot2^{x^2} + 16} \geq 0$

Решите неравенство $\frac{117 - 15\cdot 3^x}{9^x - 36\cdot 3^x + 243} \geq 0,5$