Тип 16 № 21101

Решение:

Сделаем замену $t = 3^x > 0$. Тогда $9^x = t^2$, и неравенство примет вид: $$\frac{2t}{t - 9} + \frac{t + 9}{t - 3} + \frac{84}{t^2 - 12t + 27} \leq 0$$

Заметим, что $$t^2 - 12t + 27 = (t - 3)(t - 9)$$

Приведём все дроби к общему знаменателю $(t - 3)(t - 9)$: $$\frac{2t(t - 3) + (t + 9)(t - 9) + 84}{(t - 3)(t - 9)} \leq 0$$

Упростим числитель: $$2t(t - 3) = 2t^2 - 6t$$ $$(t + 9)(t - 9) = t^2 - 81$$ $$2t^2 - 6t + t^2 - 81 + 84 = 3t^2 - 6t + 3 = 3(t^2 - 2t + 1) = 3(t - 1)^2$$

Таким образом, неравенство равносильно: $$\frac{(t - 1)^2}{(t - 3)(t - 9)} \leq 0$$

$$\left[\begin{aligned} &t = 1\\ &\begin{cases} t > 3\\ t< 9 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3^x = 1\\ &\begin{cases} 3^x > 3\\ 3^x < 9 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 0\\ &\begin{cases} x > 1\\ x < 2 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

твет: $x \in \{0\} \cup (1; 2)$