Тип 16 № 20895

Решите неравенство: $\frac{3^x + 9}{3^x - 9} + \frac{3^x - 9}{3^x + 9} \geq \frac{4\cdot3^{x + 1} + 144}{9^x - 81}$ {Решение.} \textbf{Решение: }

Сделаем замену $3^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t + 9}{t - 9} + \frac{t - 9}{t + 9} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t + 9)^2 + (t - 9)^2}{(t - 9)(t + 9)} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^2 + 18t + 81 + t^2 - 18t + 81}{(t - 9)(t + 9)} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 + 162}{(t - 9)(t + 9)} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{2t^2 + 162 - 12t - 144}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 - 12t + 18}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t^2 - 6t + 9)}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t - 3)^2}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$$

Получаем:

Ответ: $x \in \{1\} \cup (2; +\infty)$