Тип 16 № 22606

Решение:

Заметим, что $$0{,}25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}, \qquad 16 = 4^2, \qquad 4^{x+2} = 4^x \cdot 4^2 = 16 \cdot 4^x.$$ Тогда числитель: $$0{,}25^x - 4 = (4^{-1})^x - 4 = 4^{-x} - 4^1.$$ Знаменатель: $$16^x - 4^{x+2} + 64 = (4^2)^x - 16 \cdot 4^x + 64 = 4^{2x} - 16 \cdot 4^x + 64.$$ Введём замену $t = 4^x > 0$. Тогда знаменатель принимает вид: $$t^2 - 16t + 64 = (t - 8)^2.$$ Возвращаясь к переменной $x$: $$16^x - 4^{x+2} + 64 = (4^x - 8)^2.$$

Таким образом, исходное неравенство равносильно: $$\frac{4^{-x} - 4}{(4^x - 8)^2} \leq 0.$$

По методу рационализации, так как основание $4 > 1$, знак $4^{-x} - 4$ совпадает со знаком $-x - 1$, а знак $(4^x - 8)^2$ совпадает со знаком $(x - 1{,}5)^2$ (поскольку $4^x - 8 = 0 \Rightarrow x = 1{,}5$). Получаем: $$\frac{-x - 1}{(x - 1{,}5)^2} \leq 0.$$

Умножим на $-1$ и поменяем знак неравенства: $$\frac{x + 1}{(x - 1{,}5)^2} \geq 0.$$

Решим методом интервалов:

Получаем: $$x \in [-1; 1{,}5) \cup (1{,}5; +\infty).$$

Ответ: $[-1; 1{,}5) \cup (1{,}5; +\infty)$.