Тип 16 № 20891

Решение. Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t + 8}{t - 8} + \frac{t - 8}{t + 8} \geq \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$$ Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t + 8)^2 + (t - 8)^2}{(t - 8)(t + 8)} \geq \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^2 + 16t + 64 + t^2 - 16t + 64}{(t - 8)(t + 8)} \geq \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 + 128}{(t - 8)(t + 8)} \geq \frac{16t + 96}{t^2 - 64}$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{2t^2 + 128 - 16t - 96}{(t - 8)(t + 8)} \geq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 - 16t + 32}{(t - 8)(t + 8)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t^2 - 8t + 16)}{(t - 8)(t + 8)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t - 4)^2}{(t - 8)(t + 8)} \geq 0$$

Получаем: $$\left[\begin{aligned} &2^x = 4 \\ &2^x > 8 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 2 \\ &x > 3 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in \{2\} \cup (3; +\infty)$