Тип 16 № 21131

Решение:

Ограничения:

$$(*) \quad 50x^2 - 110x + 60{,}5 \neq 0$$

Умножим на $2$ для удобства:

$$100x^2 - 220x + 121 = 0$$

$$D = 220^2 - 4\cdot100\cdot121 = 48400 - 48400 = 0$$

Значит, знаменатель имеет один корень кратности $2$:

$$100x^2 - 220x + 121 = (10x - 11)^2$$

Следовательно,

$$50x^2 - 110x + 60{,}5 = 0{,}5(100x^2 - 220x + 121) = 0{,}5(10x - 11)^2$$

Преобразуем числитель:

$$27^x - 9^{x + 1} + 3^{x + 3} - 27 =$$

$$= (3^3)^x - (3^2)^{x + 1} + 3^x\cdot3^3 - 3^3 =$$

$$= (3^x)^3 - 3^{2x + 2} + 27\cdot3^x - 27 =$$

$$= (3^x)^3 - 9\cdot3^{2x} + 27\cdot3^x - 27$$

Пусть $t = 3^x > 0$. Тогда числитель примет вид:

$$t^3 - 9t^2 + 27t - 27$$

Заметим, что это полный куб:

$$t^3 - 9t^2 + 27t - 27 = (t - 3)^3$$

Таким образом, исходное неравенство равносильно:

$$\frac{(3^x - 3)^3}{0{,}5(10x - 11)^2} \geq 0$$

По методу рационализации:

$$\frac{(x - 1)^3}{(10x - 11)^2} \geq 0$$

Решим методом интервалов:

Получаем: $$x \in [1; 1{,}1) \cup (1{,}1; +\infty)$$

Ответ: $[1; 1{,}1) \cup (1{,}1; +\infty)$