Тип 16 № 21094

Решение:

Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t}{t - 8} + \frac{t + 8}{t - 4} + \frac{66}{t^2 - 12t + 32} \leq 0$$

Разложим знаменатель последней дроби на множители: $$t^2 - 12t + 32 = (t - 4)(t - 8)$$

Приведём все дроби к общему знаменателю $(t - 4)(t - 8)$: $$\frac{t(t - 4) + (t + 8)(t - 8) + 66}{(t - 4)(t - 8)} \leq 0$$

Раскроем скобки и упростим числитель: $$\frac{t^2 - 4t + t^2 - 64 + 66}{(t - 4)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{2t^2 - 4t + 2}{(t - 4)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{t^2 - 2t + 1}{(t - 4)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{(t - 1)^2}{(t - 4)(t - 8)} \leq 0$$

Ответ: $x \in \{0\} \cup (2; 3)$