Задача с параметром

Найдите наименьшее и наибольшее значения параметра $a$, при которых уравнение

$$\sqrt{x-a}+\sqrt{x^{3}+1}=2$$ имеет хотя бы одно решение.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$x^{6}+(5a-8x)^{3}+3x^{2}+15a=24x$$ не имеет корней.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} x^4-(y+a)^4-0{,}5a^2x^2+0{,}5a^2(y+a)^2=0,\\ y=ax \end{cases}$$ имеет ровно четыре различных решения.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(x-2)a^2-(x^3-x^2-4)a+x^4-4x^2=0$$ имеет ровно 2 решения.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(x+1)a^2+(x^3+2x^2+1)a+x^4+2x^3-2x-1=0$$ имеет ровно 2 решения.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Сибирь

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система

$$\begin{cases} x^2+y^2-2a(x+2y)=5-5a^2\\ y+\frac{1}{2}x=0 \end{cases}$$ имеет решение.

Найдите $a$, при которых система

$$\begin{cases} (\sqrt{12}-x^2-y)\left((x+4)^2+(y+4)^2-8(x+4)+x^2-y^2-24\over 2-x^2\right)=0\\ y=1-2a \end{cases}$$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} x+y=a,\\ |y|=|x^2-2x| \end{cases}$$ имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} |y|-4x-a=0\\ x^2-2x-y=0 \end{cases}$$ имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases} (xy - x + 8)\sqrt{y - x + 8} = 0\\ y=2x + a \end{cases}$$ Имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{5x - 3}\cdot\ln(3x - a) = \sqrt{5x - 3}\cdot\ln(4x + a)$$ имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.

Точка $B$ лежит на отрезке $AC$. Прямая, проходящая через точку $A$, касается окружности с диаметром $BC$ в точке $M$ и второй раз пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $K$. Продолжение отрезка $MB$ пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $D$.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $MC$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника $DBC$, если $AK = 5$ и $MK = 25$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases} \dfrac{(y^2-xy-4y+2x+4)\sqrt{x+4}}{\sqrt{5-y}}=0,\\ a=x+y \end{cases}$$ имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(x-2)a^2-(x^3-x^2-4)a+x^4-4x^2=0$$ имеет ровно 2 решения.

На стороне острого угла с вершиной $A$ отмечена точка $B$. Из точки $B$ на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры $BC$ и $BD$ соответственно.

а) Докажите, что

$$AC^2+CD^2=AD^2+DB^2.$$

б) Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $T$. Найдите отношение $AT:TC$, если

$$\cos\angle ABC=\frac38.$$

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$a^2-4x^2+8|x|-4=0$$ имеет ровно два различных корня.

а стороне острого угла с вершиной $A$ отмечена точка $B$. Из точки $B$ на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры $BC$ и $BD$ соответственно.

а) Докажите, что

$$AC^2+CD^2=AD^2+DB^2.$$

б) Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $T$. Найдите отношение $AT:TC$, если

$$\cos\angle ABC=\frac27.$$

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$a^2-9x^2+18|x|-9=0$$ имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$\left(1-(x+2a+1)^2\right)^3 - \left(1-(x+2a+1)^2\right)^2 = 3^{3|x-2a|}-3^{2|x-2a|}$$ имеет хотя бы один корень.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$\left(1-(x+a+1)^2\right)^3 - \left(1-(x+a+1)^2\right)^2 = 2^{3|x-a|}-2^{2|x-a|}$$ имеет хотя бы одно решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\frac{|4x| - x - 3- a}{x^2 - x - a} = 0$$ имеет ровно два раличных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\frac{x^2 - (3a - 1)x + 2a^2 - 2}{x^2 - 3x - 4} = 0$$ имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{x^4 - 9x^2 + a^2} = x^2 + 3x - a$$ имеет три различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{x^4 - 16x^2 + 64a^2} = x^2 + 4x - 8a$$ имеет три различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система

$$\begin{cases} \bigl(x^2+3x+y-4\bigr)(x-y+4)\geq0,\\ ax-y-2a+3=0,\\ x\leq0 \end{cases}$$ имеет хотя бы одно решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} y=|x-a|-4,\\ 4|y|+x^2+8x=0 \end{cases}$$ имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} y=1-|x-a|,\\ |y|+x^2+2x=0 \end{cases}$$ имеет четыре решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{x+a}\cdot \ln(x - 3a) = (x-1)\ln(x-3a)$$

имеет ровно 1 корень на отрезке $[0; 1]$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{x+3a}\cdot \ln(x - 2a) = (x-1)\ln(x-2a)$$

имеет ровно 1 корень на отрезке $[0; 1]$.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$$|\sin^2x + 2\cos x + a| = \sin^2x + \cos x - a$$

имеет на промежутке $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ единственный корень.