Тип 19 № 20837

Решение.

а) Докажем, что

$$BC=CD.$$

Тогда

$$AC^2+CD^2 = AC^2+BC^2 = AB^2$$ по теореме Пифагора в треугольнике $ABC$ и

$$AD^2+BD^2=AB^2$$ по теореме Пифагора в треугольнике $ABD$.

Так как

$$\angle ACB=\angle ADB=90^\circ,$$ точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности.

Из равенства углов $BAC$ и $CAD$ следует равенство дуг, на которые они опираются. Равные дуги стягиваются равными хордами $BC$ и $CD$, что и требовалось.

б) Отметим, что

$$\angle BAC=\angle DBC,$$ как опирающиеся на одну дугу. Из условия следует, что

$$\ctg\angle ABC = \frac{1}{\tg\angle ABC} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2\angle ABC}-1}} = \frac{2}{\sqrt{45}}.$$

Из треугольника $ABC$ находим

$$BC=\frac{2}{\sqrt{45}}AC.$$

Из треугольника $BTC$ находим

$$CT=\frac{2}{\sqrt{45}}BC =\frac{4}{45}AC,$$ откуда и следует ответ.

$$\text{Ответ: } \text{б) }41:4.$$