Окружности и полуокружности

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнениe $$a + \sqrt{6x - x^2 - 8} = 3 + \sqrt{1 + 2ax - a^2 - x^2}$$ имеет ровно один корень.

Источник: ЕГЭ 2020

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\begin{cases} (x-a)^2+y^2=1\\ y=\mid x-3\mid +\frac{1}{2} \end{cases}$$ Имеет ровно одно решение

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система $$\begin{cases} x^2 + y^2 - 2a(x + 2y) = 5 - 5a^2, \\ y + \dfrac{1}{2}x = 0 \end{cases}$$ имеет решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система $$\begin{cases} (x^2 + y^2 - 2y)\sqrt{y + 0,5x} = 0 \\ y = 2(a + x) \end{cases}$$ имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases} 2x - 2y - 2 = |x^2 + y^2 - 1|,\\ y = a(x - 1) \end{cases}$$ имеет более двух решений.

Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений

$$\begin{cases} x + 3|y| + 5 = 0,\\ (x-a)^2 + y^2 = 4 \end{cases}$$ имеет четыре решения?

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} x^4-(y+a)^4-0{,}5a^2x^2+0{,}5a^2(y+a)^2=0,\\ y=ax \end{cases}$$ имеет ровно четыре различных решения.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система

$$\begin{cases} x^2+y^2-2a(x+2y)=5-5a^2\\ y+\frac{1}{2}x=0 \end{cases}$$ имеет решение.

Найдите $a$, при которых система

$$\begin{cases} (\sqrt{12}-x^2-y)\left((x+4)^2+(y+4)^2-8(x+4)+x^2-y^2-24\over 2-x^2\right)=0\\ y=1-2a \end{cases}$$ имеет ровно два различных решения.

Точка $B$ лежит на отрезке $AC$. Прямая, проходящая через точку $A$, касается окружности с диаметром $BC$ в точке $M$ и второй раз пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $K$. Продолжение отрезка $MB$ пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $D$.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $MC$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника $DBC$, если $AK = 5$ и $MK = 25$.

На стороне острого угла с вершиной $A$ отмечена точка $B$. Из точки $B$ на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры $BC$ и $BD$ соответственно.

а) Докажите, что

$$AC^2+CD^2=AD^2+DB^2.$$

б) Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $T$. Найдите отношение $AT:TC$, если

$$\cos\angle ABC=\frac38.$$

а стороне острого угла с вершиной $A$ отмечена точка $B$. Из точки $B$ на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры $BC$ и $BD$ соответственно.

а) Докажите, что

$$AC^2+CD^2=AD^2+DB^2.$$

б) Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $T$. Найдите отношение $AT:TC$, если

$$\cos\angle ABC=\frac27.$$