Найдите a a a
{ ( 12 − x 2 − y ) ( ( x + 4 ) 2 + ( y + 4 ) 2 − 8 ( x + 4 ) + x 2 − y 2 − 24 2 − x 2 ) = 0 y = 1 − 2 a \begin{cases}
(\sqrt{12}-x^2-y)\left((x+4)^2+(y+4)^2-8(x+4)+x^2-y^2-24\over 2-x^2\right)=0\\
y=1-2a
\end{cases} { ( 12 − x 2 − y ) ( 2 − x 2 ( x + 4 ) 2 + ( y + 4 ) 2 − 8 ( x + 4 ) + x 2 − y 2 − 24 ) = 0 y = 1 − 2 a
Рассмотрим вторую скобку:
x 2 + 8 x + 16 − 8 ( x − 32 ) + x 2 − 24 + y 2 + 8 y + 16 − y 2 = 0 ⇔ 2 x 2 − 24 + 8 y − 8 y = 0 ⇔ 2 x 2 − 4 + 8 y = 0 ⇔ y = − 1 4 x 2 + 3 \begin{aligned}
&x^2+8x+16-8(x-32)+x^2-24+y^2+8y+16-y^2=0\\
\Leftrightarrow\ & 2x^2-24+8y-8y=0\\
\Leftrightarrow\ & 2x^2-4+8y=0\\
\Leftrightarrow\ & y=-\frac14 x^2+3
\end{aligned} ⇔ ⇔ ⇔ x 2 + 8 x + 16 − 8 ( x − 32 ) + x 2 − 24 + y 2 + 8 y + 16 − y 2 = 0 2 x 2 − 24 + 8 y − 8 y = 0 2 x 2 − 4 + 8 y = 0 y = − 4 1 x 2 + 3
Следовательно, система равносильна:
{ y = 12 − x 2 y = − 1 4 x 2 + 3 x ≠ ± 2 12 − x 2 ≥ 0 y = 1 − 2 a \begin{cases}
y=\sqrt{12-x^2}\\
y=-\frac14 x^2+3\\
x\ne \pm\sqrt2\\
12-x^2\ge 0\\
y=1-2a
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ y = 12 − x 2 y = − 4 1 x 2 + 3 x = ± 2 12 − x 2 ≥ 0 y = 1 − 2 a
Найдем a a a y = 1 − 2 a y=1-2a y = 1 − 2 a
{ y = 12 − x 2 ( полуокружность ) y = − 1 4 x 2 + 3 ( часть параболы ) \left\{
\begin{aligned}
y=\sqrt{12-x^2}\quad (\text{полуокружность})\\
y=-\frac14 x^2+3\quad (\text{часть параболы})
\end{aligned}
\right. ⎩ ⎨ ⎧ y = 12 − x 2 ( полуокружность ) y = − 4 1 x 2 + 3 ( часть параболы )
x\ne \pm \sqrt2,
12-x^2\ge 0.
]
Заметим, что в силу симметрии полуокружности и параболы относительно оси O y Oy O y A A A B B B C C C D D D y = 1 − 2 a y=1-2a y = 1 − 2 a p p p q q q p p p q q q a a a
Ищем ординату точек A A A B B B y = 12 − ( 2 ) 2 = 10 y=\sqrt{12-(\sqrt2)^2}=\sqrt{10} y = 12 − ( 2 ) 2 = 10
Ищем ординату точек C C C D D D y = − 1 4 ⋅ ( 2 ) 2 + 3 = 5 2 y=-\frac14\cdot(\sqrt2)^2+3=\frac52 y = − 4 1 ⋅ ( 2 ) 2 + 3 = 2 5
r : 1 − 2 a = 0 ⟺ a = 1 2 r:\ 1-2a=0 \ \Longleftrightarrow\ a=\frac12 r : 1 − 2 a = 0 ⟺ a = 2 1
q : 1 − 2 a = 5 2 ⟺ a = − 3 4 q:\ 1-2a=\frac52 \ \Longleftrightarrow\ a=-\frac34 q : 1 − 2 a = 2 5 ⟺ a = − 4 3
p : 1 − 2 a = 3 ⟺ a = − 1 p:\ 1-2a=3 \ \Longleftrightarrow\ a=-1 p : 1 − 2 a = 3 ⟺ a = − 1
s : 1 − 2 a = 10 ⟺ a = 1 − 10 2 s:\ 1-2a=\sqrt{10} \ \Longleftrightarrow\ a=\frac{1-\sqrt{10}}{2} s : 1 − 2 a = 10 ⟺ a = 2 1 − 10
n : 1 − 2 a = 2 3 ⟺ a = 1 − 2 3 2 n:\ 1-2a=2\sqrt3 \ \Longleftrightarrow\ a=\frac{1-2\sqrt3}{2} n : 1 − 2 a = 2 3 ⟺ a = 2 1 − 2 3
Следовательно, ответ a ∈ ( 1 − 2 3 2 ; − 1 ) ∖ { 1 − 10 2 } ∪ { − 3 4 ; 1 2 } a\in\left(\frac{1-2\sqrt3}{2};\,-1\right)\setminus\left\{\frac{1-\sqrt{10}}{2}\right\}\cup\left\{-\frac34;\,\frac12\right\} a ∈ ( 2 1 − 2 3 ; − 1 ) ∖ { 2 1 − 10 } ∪ { − 4 3 ; 2 1 }
Ответ:
a ∈ ( − 2 3 − 1 2 ; − 10 − 1 2 ) ∪ ( − 10 − 1 2 ; − 1 ) ∪ { − 3 4 ; 1 2 } . a\in\left(-\frac{2\sqrt3-1}{2};\,-\frac{\sqrt{10}-1}{2}\right)\cup\left(-\frac{\sqrt{10}-1}{2};\,-1\right)\cup\left\{-\frac34;\,\frac12\right\}. a ∈ ( − 2 2 3 − 1 ; − 2 10 − 1 ) ∪ ( − 2 10 − 1 ; − 1 ) ∪ { − 4 3 ; 2 1 } .
