Тип 19 № 20892

Решение. Система имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда графики её уравнений имеют ровно четыре общие точки.

График функции

$$y=|x-a|-4$$ получается из графика функции $y=|x|$ сдвигом на $a$ единиц вдоль оси $Ox$ и на $4$ единицы вниз вдоль оси $Oy$. Его вершина имеет координаты

$$(a;-4).$$

Преобразуем второе уравнение системы:

$$4|y|+x^2+8x=0.$$ Отсюда

$$|y|=-\frac{x^2+8x}{4}.$$

Правая часть должна быть неотрицательной:

$$-\frac{x^2+8x}{4}\geq 0.$$ Следовательно,

$$x(x+8)\leq 0,$$ то есть

$$x\in[-8;0].$$

Второе уравнение можно представить в виде совокупности:

$$\begin{cases} y\geq 0,\ \\ \displaystyle y=-\frac{x^2+8x}{4}, \end{cases} \qquad\text{или}\qquad \begin{cases} y<0,\ \\ \displaystyle y=\frac{x^2+8x}{4}. \end{cases}$$

Таким образом, графиком второго уравнения является объединение частей парабол

$$y=\pm\frac{x^2+8x}{4}, \qquad x\in[-8;0].$$

Рассмотрим нижнюю часть графика:

$$y=\frac{x^2+8x}{4}.$$

Пусть при $a=a_1$ левая ветвь графика функции

$$y=|x-a|-4$$ касается этой параболы. Левая ветвь задаётся уравнением

$$y=a-x-4,\qquad x<a.$$

Получаем уравнение:

$$\frac{x^2+8x}{4}=a-x-4.$$ После преобразования:

$$\frac14x^2+3x-(a-4)=0.$$

Для касания это уравнение должно иметь единственный корень, поэтому его дискриминант равен нулю:

$$D_1=9+(a-4)=a+5.$$ Следовательно,

$$a+5=0,$$ откуда

$$a_1=-5.$$

Абсцисса точки касания равна

$$x_1=-\frac{3}{2\cdot\frac14}=-6.$$ Условие $x<a$ выполняется:

$$-6<-5.$$

Теперь найдём значение $a_2$, при котором правая ветвь графика функции $y=|x-a|-4$ касается параболы. Правая ветвь задаётся уравнением

$$y=x-a-4,\qquad x\geq a.$$

Получаем:

$$\frac{x^2+8x}{4}=x-a-4.$$ После преобразования:

$$\frac14x^2+x+(a+4)=0.$$

Дискриминант равен

$$D_2=1-(a+4)=-a-3.$$ Для касания:

$$-a-3=0,$$ откуда

$$a_2=-3.$$

Абсцисса точки касания:

$$x_2=-\frac{1}{2\cdot\frac14}=-2.$$ Условие $x\geq a$ выполняется:

$$-2\geq -3.$$

Найденные точки касания $x_1=-6$ и $x_2=-2$ принадлежат отрезку

$$[-8;0].$$

При

$$a=-5,\qquad a=-4,\qquad a=-3$$ графики имеют ровно три общие точки.

При

$$-5<a<-4$$ и

$$-4<a<-3$$ графики имеют ровно четыре общие точки.

Если

$$a<-5$$ или

$$a>-3,$$ то одна из ветвей графика модуля не пересекается с нижней частью графика второго уравнения, а другая ветвь имеет с ним не более двух общих точек. Следовательно, остальные значения параметра не подходят.

Таким образом,

$$a\in(-5;-4)\cup(-4;-3).$$

Ответ:

$$(-5;-4)\cup(-4;-3).$$