Тип 19 № 20887

Решение. Решим задачу графо-аналитическим способом.

Рассмотрим при $x\leq0$ графики уравнений

$$x^2+3x+y-4=0$$ и

$$x-y+4=0.$$

Первое уравнение задаёт параболу

$$y=-x^2-3x+4,$$ а второе~--- прямую

$$y=x+4.$$

Эти графики разбивают полуплоскость $x\leq0$ на части. Неравенство

$$\bigl(x^2+3x+y-4\bigr)(x-y+4)\geq0$$ выполняется в тех частях плоскости, где выражения в скобках имеют одинаковые знаки.

Из второго уравнения исходной системы получаем:

$$ax-y-2a+3=0.$$

Выразим $y$:

$$y=ax-2a+3=a(x-2)+3.$$

Это семейство прямых, проходящих через фиксированную точку

$$(2;3).$$

Исходная система имеет хотя бы одно решение, если прямая

$$y=a(x-2)+3$$ имеет хотя бы одну общую точку с областью, задаваемой первым неравенством и условием $x\leq0$.

Граничные положения прямой достигаются в двух случаях.

1 Прямая проходит через точку пересечения графиков

$$(-4;0).$$

Подставим координаты этой точки в уравнение прямой:

$$0=a(-4-2)+3.$$

Отсюда

$$-6a+3=0,$$ следовательно,

$$a=\frac12.$$

2 Прямая касается параболы

$$y=-x^2-3x+4.$$

Для нахождения значений параметра решим уравнение

$$-x^2-3x+4=a(x-2)+3.$$

После преобразования получаем:

$$x^2+(a+3)x-1-2a=0.$$

Касание происходит в том случае, когда квадратное уравнение имеет единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D=(a+3)^2-4(-1-2a).$$

Преобразуем:

$$D=a^2+6a+9+4+8a =a^2+14a+13.$$

Следовательно,

$$a^2+14a+13=0.$$

Разложим левую часть на множители:

$$(a+1)(a+13)=0.$$

Отсюда

$$a=-1 \qquad\text{или}\qquad a=-13.$$

При $a=-13$ абсцисса точки касания положительна:

$$x=5.$$ Это не соответствует условию

$$x\leq0.$$

При $a=-1$ абсцисса точки касания равна

$$x=-1,$$ поэтому данное значение параметра подходит.

В результате получаем:

• при $a<-1$ система не имеет решений;

• при $a=-1$ система имеет одно решение;

• при $-1<a<\frac12$ система имеет бесконечно много решений;

• при $a=\frac12$ система имеет одно решение;

• при $a>\frac12$ система имеет бесконечно много решений.

Для того чтобы система имела хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы

$$a\geq-1.$$

Таким образом,

$$a\in[-1;+\infty).$$

Ответ:

$$[-1;+\infty).$$