Тип 19 № 20965

Решение

$$(*) \begin{cases} x + a \ge 0, \\ x - 3a > 0, \\ 0 \le x \le 1. \end{cases}$$

Преобразуем уравнение: $$\sqrt{x+a}\ln(x-3a) = (x-1)\ln(x-3a)$$ $$\ln(x-3a)\bigl(\sqrt{x+a}-(x-1)\bigr)=0.$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\ln(x-3a)=0,\\ &\sqrt{x+a}=x-1. \end{aligned} \right.$$

1. $\ln(x-3a)=0 \Rightarrow x-3a=1 \Rightarrow x=1+3a$.

Проверим условия $(*)$: $$\begin{cases} 0 \le 1+3a \le 1, \\ (1+3a)+a \ge 0, \\ (1+3a)-3a > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -\frac13 \le a \le 0, \\ 1+4a \ge 0 \Rightarrow a \ge -\frac14, \\ 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow a \in \left[-\frac14; 0\right].$$ При этих $a$ получаем корень $x=1+3a$.

2)$\sqrt{x+a}=x-1$.

Так как $x\in[0;1]$, то $x-1\le 0$, а левая часть неотрицательна. Равенство возможно только при $x-1=0$, то есть $x=1$. Тогда $$1+a=0 \Rightarrow a=-1.$$ Проверим условия $(*)$ при $a=-1,\; x=1$: $$1-1=0\ge0,\qquad 1-3(-1)=4>0,$$ следовательно, $a=-1$ даёт корень $x=1$.

Проверим совпадение корней: $$1+3a = 1 \Rightarrow 3a=0 \Rightarrow a=0.$$ При $a=0$ корни совпадают (оба дают $x=1$), поэтому дополнительных корней не возникает.

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$ при: $$a \in \left[-\frac14; 0\right] \cup \{-1\}.$$

Ответ: $\left[-\frac14; 0\right] \cup \{-1\}$.