Тип 19 № 21046

Решение:

Рассмотрим 2 случая раскрытия модуля:

1. $\sin^2x + 2\cos x + a \geq 0$

$$\sin^2x + 2\cos x + a = \sin^2x + \cos x - a \Leftrightarrow \cos x = -2a$$

Данное уравнение имеет корень на промежутке $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ при:

$$-1 <-2a \leq 0 \Leftrightarrow 0\leq a < 0,5$$

Проверим условие:

$$1 - \cos^2x + 2\cos x +a \geq 0 \Leftrightarrow 1 - 4a^2-4a +a \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$4a^2 + 3a - 1 \leq 0 \Leftrightarrow -1 \leq a \leq \frac{1}{4}$$

Пересекая значения $a$ получаем, что уравнение имеет единственное решение при $a \in [0; \tfrac{1}{4}]$ и не имеет решений при $a < 0, a > \frac{1}{4}$.

1. $\sin^2x + 2\cos x + a < 0$

Получаем:

$$-\sin^2x - 2\cos x - a = \sin^2x + \cos x - a \Leftrightarrow 2\sin^2x + 3\cos x = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow(\cos x - 2)(2\cos x + 1) = 0$$ $$\cos x = 2 \text{ нет корней}, \cos x = -\frac{1}{2}$$

На промежутке $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ уравнение имеет единственный корень $x = \frac{2\pi}{3}$.

Проверим выполнение условия $\sin^2x + 2\cos x + a < 0$ для этого корня:

$$\sin^2(\tfrac{2\pi}{3}) + 2\cos \tfrac{2\pi}{3} + a < 0 \Leftrightarrow \frac{3}{4} - 1 + a < 0 \Leftrightarrow a < \frac{1}{4}$$

Уравнение имеет единственное решение на промежутке $x = \frac{2\pi}{3}$ при $a < \frac{1}{4}$ и не имеет решений при $a \geq \frac{1}{4}$.

Получаем: $$a < 0, a = \frac{1}{4}$$