Разные города

Площадь параллелограмма ABCD равна 70. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.

Даны векторы $\vec a(5; 2)$ и $\vec b(3; -6)$. Найдите значение выражения $(\vec a - \vec b)(5\vec a - \vec b)$.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем параллелепипеда.

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Протор», «Ротор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать с мячом только вторую и последнюю игры.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,25. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Результат округлите до тысячных.

Найдите корень уравнения $\log_6(x + 3) = 2$

Найдите значение выражения $15\cos 2\alpha$, если $\sin \alpha = 0,6$.

На рисунке изображён график ${y=f'\left(x\right)}$ – производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечены одиннадцать точек: $x_1, x_2, ..., x_8, x_9$. Сколько из этих точек лежит в промежутках убывания функции $f(x)$?

Источник: БАНК ЕГЭ.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0=57\ \text{км/ч}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=8\ \text{км/ч}^2$. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S=v_0t+\frac{at^2}{2}$, где $t$ — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в $45\ \text{км}$ от города. Ответ дайте в минутах.

Один мастер может выполнить заказ за 45 часов, а другой — за 30 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

На рисунке изображены графики функций видов $f(x) = a\sqrt x$ и $g(x) = kx$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

Найдите наименьшее значение функции $y=\left(3x^2+21x -21\right)e^{x}$ на отрезке $[-5; 3]$.

а) Решите уравнение $\sqrt3\sin 2x +3\cos 2x = 0$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$

В правильной треугольной призме сторона $AB$ основания равна 4, точка $M$— середина ребра $CC1$.

а) Докажите, что сечение $A1MB$ — равнобедренный треугольник.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения равна 18.

Решите неравенство $7\log_{3}\left(x^2-7x+12\right)\le 8+\log_{3}\frac{(x-3)^7}{x-4}.$

Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство $х$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5x^2 + 2x + 6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $р$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px - (0,5x^2 + 2x + 6)$. В первый год после постройки завода цена продукции p = 10 тысяч рублей за единицу. Каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тысячу рублей за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?

Дана трапеция с диагоналями, равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$$x^{10} + (a - 2|x|)^5 + x^2 + a - 2|x| = 0$$

имеет более трёх решений решений.

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?