Тип 18 № 22746

Решение: а)

Проведем прямую через точку $C$ параллельно $BD$, она пересечет прямую $AD$ в точке $M$. Получим, что $BCMD$ --- параллелограмм.

В треугольнике $ACM$: $$AC = 8, \quad CM = BD = 15, \quad AM = AD + DM = AD + BC = 17.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора: $$AC^2 + CM^2 = AM^2 \;\Longleftrightarrow\; 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2.$$

Тогда $\triangle ACM$ --- прямоугольный и $\angle ACM = 90^\circ$.

$MC \perp AC$, $BD \parallel MC$ $\Rightarrow$ $BD \perp AC$, что и требовалось доказать.

б) Из формулы площади трапеции:

$$S_{ABCD} = \frac{1}{2}\cdot (AD + BC)\cdot h \;\Longleftrightarrow\; h = \frac{2\cdot S_{ABCD}}{AD + BC}.$$

Площадь треугольника $ACM$ равна: $$S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2}\cdot AC \cdot CM = \frac{1}{2}\cdot 8 \cdot 15 = 60.$$

Так как $BCMD$ --- параллелограмм, то $S_{\triangle ACM} = S_{ABCD}$. Следовательно, $$h = \frac{2\cdot 60}{17} = \frac{120}{17}.$$

Ответ:$\; \frac{120}{17}$.