Планиметрическая задача

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту $CC_1$ и медиану $AA_1$ . Оказалось, что точки $A,A_1,C,C_1$ лежат на одной окружности.

а)Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если $AA_1:CC_1=5:4$ и $A_1C_1=4$.

В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ тупой, $H$ - точка пересечения продолжений высот, угол $AHC$ равен $60^\circ$.

а) Докажите, что угол $ABC$ равен $120^\circ$.

б) Найдите $BH$, если $AB=7$ и $BC=8$.

ЕГЭ 2019

В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $CC_1$ и медиану $AA_1$. Оказалось, что точки $A$,$A_1$,$C$,$C_1$ лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AA_1 : CC_1 = 4:3$ и $A_1C_1=6$.

Дан прямоугольный треугольник $ABC$. На катете $AC$ отмечена точка $M$, а на продолжении катета $BC$ за точку $C$ - точка $N$ так, что $CM = CB$ и $CA = CN$.

а) Пусть $CH$ и $CF$ - высоты треугольников $ABC$ и $NMC$ соответственно. Докажите, что $CF$ и $CH$ перпендикулярны.

б) Пусть $L$ - это точка пересечения $BM$ и $AN$, $BC = 2$, $AC = 5$. Найдите $ML$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$ , а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$ , причём $CM=BC$ и $CN=AC$ . Отрезки $CP$ и $CQ$ - биссектрисы треугольников $ACB$ и $NCM$ соответственно.

а) Докажите, что $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.

б) Найдите PQ , если $BC=3$ , а $AC=5$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ - середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $L$.

а) Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos\angle BAC=\frac{7}{25}$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$, а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$ причем $CM=BC$ и $CN=AC$.

а) Отрезки $CH$ и $CF$ - высоты треугольников $ACB$ и $NCM$ соответственно. Докажите, что прямые $CH$ и $CF$ перпендикулярны.

б) Прямые $BM$ и $AN$ пересекаются в точке $L$. Найдите $LM$ если $BC=4$, а $AC=8$.

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту $CC_1$ и медиану $AA_1$ . Оказалось, что точки $A,A_1,C,C_1$ лежат на одной окружности.

а)Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если $AA_1:CC_1=5:4$ и $A_1C_1=4$.

На стороне острого угла с вершиной $A$ отмечена точка $B$. Из точки $B$ на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры $BC$ и $BD$ соответственно.

а) Докажите, что $AC^2 + CD^2=AD^2+DB^2$.

б) Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $T$. Найдите отношение $AT:TC$, если $\cos \angle ABC = \cfrac{3}{8}$.

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна, Центр, Москва, Санкт-Петербург

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны. б)Найдите отношение $EH:AC$, если угол $ABC$ равен $30^\circ$.

Источник: ЕГЭ 2016, основная волна

Отрезок $CH$ — высота прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$. На катетах $AC$ и $BC$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно такие, что $\angle MHN=90^\circ$.

а) Докажите, что треугольник $MHN$ подобен треугольнику $ABC$.

б)Найдите $CN$, если $BC=3, AC=5, CM=2$.

Источник: ЕГЭ 2021, основная волна

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отметили точку $D$ так, что $AB = BD$. Биссектриса $BF$ пересекает $AD$ в точке $E$. Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK$.

а) Докажите, что $AB : BC = AE : EK$.

б) Найдите отношение площади $ABE$ к площади $CDEF$, если $BD:DC=5:2$.

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точки $M$ и $N$ — середины катетов $AC$ и $BC$ соответственно, $CH$ — высота.

а)Докажите, что прямые $МН$ и $NH$ перпендикулярны.

б) Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AC$ и $NH$, а $Q$ — точка пересечения прямых $BC$ и $MH$. Найдите площадь треугольника $PQM$, если $AH=12$ и $BH=3$.

Источник: ЕГЭ 2016, основная волна

На продолжении стороны $AC$ за вершину $A$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AD=AB$. Прямая, проходящая через точку $A$, параллельно $BD$, пересекает сторону $BC$ в точке $M$.

а) Докажите, что $AM$ — биссектриса треугольника $ABC$.

б) Найти $S_{AMBD}$, если $AC=30,\; BC=18$,;и $AB=24$.

Источник: ЕГЭ 2016, основная волна

К окружности с диаметром $AB = 10$ проведена касательная $BC$ так, что $BC = 5$. Прямая $AC$ вторично пересекает окружность в точке $D$. Точка $E$ окружности диаметрально противоположна точке $D$. Прямые $ED$ и $BC$ пересекаются в точке $F$.

а) Докажите, что $BD^2=CD\cdot BE$.

б) Найдите площадь треугольника $FBE$.

Источник: ЕГЭ 2020, резервная волна

Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K$. При этом $AK:KC=1:2$.

а) Докажите, что $\angle BAC = 30^\circ$.

б) Пусть прямые $MK$ и $BC$ пресекаются в точке $P$, а прямые $AP$ и $BK$ — в точке $Q$. Найдите $KQ$, если $BC=\sqrt{21}$.

Дана трапеция $ABCD$ с боковой стороной $AB$, которая перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опущен перпендикуляр $AH$. На стороне $AB$ взята точка $E$ так, что прямые $CE$ и $CD$ перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые $BH$ и $ED$ параллельны.

б) Найдите отношение $BH$ к $ED$, если $\angle BCD = 135^\circ$.

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна

В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ углы $ABD$ и $ACD$ прямые.

а) Докажите, что $AB = CD$.

б) Найдите $AD$, если $AB = 2$, $BC = 7$.

Источник: ЕГЭ 2018, основная волна

Дана равнобедренная трапеция, в которой $AD = 3BC$, $CM$ — высота трапеции.

а) Докажите, что $M$ делит $AD$ в отношении $2 : 1$.

б) Найдите расстояние от точки $C$ до середины $BD$, если $AD = 18$, $AC = 4\sqrt{13}$.

Источник: ЕГЭ 2017

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника $ABC$ вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке $L$. Прямая, проходящая через точку $L$ и середину $N$ гипотенузы $AB$, пересекает катет $BC$ в точке $M$.

а) Докажите, $\angle BML = \angle BAC$.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB=20$ и $CM=3\sqrt{5}$.

Источник: ЕГЭ 2020, основная волна

Прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ вписан в окружность. Биссектриса угла $A$ пересекает описанную окружность в точке $A_1$, биссектриса угла $B$ пересекает описанную окружность в точке $B_1$, биссектриса угла $C$ пересекает описанную окружность в точке $C_1$.

а) Докажите, что угол $A_1BB_1=45^\circ$.

б) Известно, что $AB = 2\sqrt{3}, \angle A = 60^\circ$. Найдите $B_1C_1$.

Источник: ЕГЭ 2020, основная волна

Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Прямая $OB$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $P$.

а) Докажите, что угол $OP=AP$.

б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, если $\angle ABC = 120^\circ$, а радиус описанной окружности равен 18.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Около остроугольного треугольника $ABC$ с различными сторонами описали окружность с диаметром $BN$. Высота $BH$ пересекает эту окружность в точке $K$.

а) Докажите, что угол $AN=CK$.

б) Найдите $KN$, если $\angle BAC = 35^\circ,\; \angle ACB = 65^\circ,$ а радиус окружности равен 12.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Точка $O$ - центр вписанной в треугольник окружности. Прямая $BO$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $P$.

а) Докажите, что $\angle POC = \angle PCO$.

б) Найдите площадь треугольника $APC$, если радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен 8, а $\angle ABC =60^\circ$.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

В остроугольном треугольнике $ABC, \; \angle A = 60^\circ$. Высоты $BN$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около $\Delta ABC$.

а) Докажите, что $AH = AO$.

б) Найдите площадь $\Delta AHO$, если $BC=6\sqrt{3},\; \angle ABC =45^\circ$.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Из вершины $C$ прямого угла прямоугольного треугольника $ABC$ проведена высота $CH$.

а) Докажите, что отношение площадей кругов, построенных на отрезках $AH$ и $BH$ соответственно как на диаметрах ровно $tg^4\angle ABC$.

б) Пусть точка $O_1$ — центр окружности диаметра $AH$, вторично пересекающей отрезок $AC$ в точке $p$, а точка $O_2$ — центр окружности с диаметром $BH$, вторично пересекающей отрезок $BC$ в точке $Q$. Найдите площадь четырехугольника $O_1PQO_2$, если $AC=22,\; BC=18$.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $AM:MB=CN:NB=2:3$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается отрезка $MN$ в точке $K$.

а) Докажите, что $AB+BC=4AC$.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если $MK=\dfrac{9}{5}$ и $KN=3$.

Источник: ЕГЭ 2022, досрочная волна

Биссектриса $BB_1$ и высота $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекают описанную окружность в точках $M$ и $N$. Известно, что $\angle BCA =85^\circ$ и $\angle ABC = 40^\circ$

а) Докажите, что $CN=BM$.

б) Пусть $MN$ и $BC$ пересекаются в точке $D$. Найти площадь треугольника $BDN$, если его высота $BH$ равна 7.

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

Окружность вписана в треугольник $ABC$, ; $P$ — точка касания окружности со стороной $AB$, точка $M$ — середина AB.

a) Докажите, что $MP = \dfrac{|AC-CB|}{2}$.

б) Найдите углы треугольника, если $MC = MA,\; AC > BC,\; MP=\dfrac{r}{2}$.

Источник: ЕГЭ 2022, досрочная волна

В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $60^\circ$. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны $AC$ в точке $M$.

a) Докажите, что отрезок $BM$ не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите $\sin\angle BMC$, если известно, что отрезок $BM$ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

Источник: ЕГЭ 2016, основная волна