Тип 18 № 13128

а)

Так как $\angle BMC = \angle BNC = 90^\circ$, то точки $B, M, N, C$ лежат на одной окружности с диаметром $BC$.

Тогда $\angle ANM=180^\circ - \angle MNC = \angle ABC$.

Получим, что $\Delta ANM \sim \Delta ABC$ по двум равным углам $$\dfrac{AN}{AB} = \dfrac{MN}{CB} = \dfrac{AM}{AC} = k$$

Из прямоугольного $\Delta AMC$: $$\cos \angle MAC = \dfrac{AM}{AC} = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$$

Таким образом, $k = \dfrac{1}{2}$.

Значит радиус окружности, описанной около $\Delta ANM$, равен половине радиуса окружности, описанной около $\Delta ABC$, то есть равен $\dfrac{1}{2}AO$.

$\angle ANH = \angle AMH = 90^\circ$, тогда точки $A, N, H, M$ лежат на одной окружности с диаметром $AH$.

Следовательно, радиус этой окружности равен $\dfrac{1}{2}AH$.

С другой стороны, радиус той же окружности равен $\dfrac{1}{2}AO$.

Тогда $AO = AH$.

б) $\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC -\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ $.

$\angle ACB = 75^\circ$    \Longrightarrow    $\angle AOB = 2\cdot \angle ACB = 2\cdot 75^\circ = 150^\circ$, как центральный.

Далее $$OB = OA\text{, как радиусы, тогда } \Delta BOA - \text{равнобедренный}.$$

Следовательно $$\angle BAO = \dfrac{180^\circ - \angle BOA}{2} = \dfrac{180^\circ - 150^\circ}{2}=15^\circ$$

Найдем $\angle OAH:$ $$\angle OAH = \angle BAC - \angle BAO - \angle CAL = 60^\circ - 15^\circ - 15^\circ = 30^\circ$$

По теореме синусов для $\Delta ABC$: $$\dfrac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R \quad \Longleftrightarrow \quad \dfrac{6\sqrt{3}}{\sin60^\circ}=12=2R \quad \Longrightarrow \quad R=6$$

Тогда $$S_{\Delta AHO} = \dfrac{1}{2}AH \cdot AO \cdot \sin \angle HAO = \dfrac{1}{2} \cdot AO^2\cdot \sin30^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\cdot 6^2 \cdot \dfrac{1}{2} = 9.$$

Ответ:    $9$.