Вписанные и описанные окружности в треугольниках

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника $ABC$ вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке $L$. Прямая, проходящая через точку $L$ и середину $N$ гипотенузы $AB$, пересекает катет $BC$ в точке $M$.

а) Докажите, $\angle BML = \angle BAC$.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB=20$ и $CM=3\sqrt{5}$.

Источник: ЕГЭ 2020, основная волна

Прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ вписан в окружность. Биссектриса угла $A$ пересекает описанную окружность в точке $A_1$, биссектриса угла $B$ пересекает описанную окружность в точке $B_1$, биссектриса угла $C$ пересекает описанную окружность в точке $C_1$.

а) Докажите, что угол $A_1BB_1=45^\circ$.

б) Известно, что $AB = 2\sqrt{3}, \angle A = 60^\circ$. Найдите $B_1C_1$.

Источник: ЕГЭ 2020, основная волна

Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Прямая $OB$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $P$.

а) Докажите, что угол $OP=AP$.

б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $AC$, если $\angle ABC = 120^\circ$, а радиус описанной окружности равен 18.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Около остроугольного треугольника $ABC$ с различными сторонами описали окружность с диаметром $BN$. Высота $BH$ пересекает эту окружность в точке $K$.

а) Докажите, что угол $AN=CK$.

б) Найдите $KN$, если $\angle BAC = 35^\circ,\; \angle ACB = 65^\circ,$ а радиус окружности равен 12.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Точка $O$ - центр вписанной в треугольник окружности. Прямая $BO$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $P$.

а) Докажите, что $\angle POC = \angle PCO$.

б) Найдите площадь треугольника $APC$, если радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен 8, а $\angle ABC =60^\circ$.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

В остроугольном треугольнике $ABC, \; \angle A = 60^\circ$. Высоты $BN$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около $\Delta ABC$.

а) Докажите, что $AH = AO$.

б) Найдите площадь $\Delta AHO$, если $BC=6\sqrt{3},\; \angle ABC =45^\circ$.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Из вершины $C$ прямого угла прямоугольного треугольника $ABC$ проведена высота $CH$.

а) Докажите, что отношение площадей кругов, построенных на отрезках $AH$ и $BH$ соответственно как на диаметрах ровно $tg^4\angle ABC$.

б) Пусть точка $O_1$ — центр окружности диаметра $AH$, вторично пересекающей отрезок $AC$ в точке $p$, а точка $O_2$ — центр окружности с диаметром $BH$, вторично пересекающей отрезок $BC$ в точке $Q$. Найдите площадь четырехугольника $O_1PQO_2$, если $AC=22,\; BC=18$.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $AM:MB=CN:NB=2:3$. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается отрезка $MN$ в точке $K$.

а) Докажите, что $AB+BC=4AC$.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если $MK=\dfrac{9}{5}$ и $KN=3$.

Источник: ЕГЭ 2022, досрочная волна

Биссектриса $BB_1$ и высота $CC_1$ треугольника $ABC$ пересекают описанную окружность в точках $M$ и $N$. Известно, что $\angle BCA =85^\circ$ и $\angle ABC = 40^\circ$

а) Докажите, что $CN=BM$.

б) Пусть $MN$ и $BC$ пересекаются в точке $D$. Найти площадь треугольника $BDN$, если его высота $BH$ равна 7.

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

Окружность вписана в треугольник $ABC$, ; $P$ — точка касания окружности со стороной $AB$, точка $M$ — середина AB.

a) Докажите, что $MP = \dfrac{|AC-CB|}{2}$.

б) Найдите углы треугольника, если $MC = MA,\; AC > BC,\; MP=\dfrac{r}{2}$.

Источник: ЕГЭ 2022, досрочная волна

В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $60^\circ$. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны $AC$ в точке $M$.

a) Докажите, что отрезок $BM$ не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите $\sin\angle BMC$, если известно, что отрезок $BM$ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

Источник: ЕГЭ 2016, основная волна

Точка $M$ — середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$.

a) Докажите, что $\angle CAN =\angle CMN$.

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\tg\angle BAC = \dfrac{4}{3}$.

Источник: ЕГЭ 2017, досрочная волна

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. На катете $AC$ взята точка $M$. Окружность с центром $O$ и диаметром $CM$ касается гипотенузы в точке $N$.

a) Докажите, что прямые $MN$ и $BO$ параллельны.

б) Найдите площадь четырехугольника $BOMN$, если $CN=8, AM:MC =1 :3$.

Источник: А.Ларин. Тренировочный вариант 329

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.

б) Найдите длину стороны $BC$ и радиус описанной окружности, если $B_1C_1 = 5$, $\angle A = 30^\circ$, а площадь треугольника $AB_1C_1$ в пять раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle BCA = 45^\circ$.

а) Докажите, что $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_1H$, если $BC = 2\sqrt{3}$.

Источник: ЕГЭ 2017, досрочная волна

В треугольник $ABC$, в котором длина стороны $AC$ меньше длины стороны $BC$, вписана окружность с центром $O$. Точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно $CO$.

а) Докажите, что $A$, $B$, $O$ и $B_1$ лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь четырёхугольника $AOBB_1$, если $AB = 10$, $AC = 6$ и $BC=8$.

Источник: ЕГЭ 2017, резервная волна

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

а) Докажите, что $AH = AO$.

б) Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC = \sqrt{15}$, $\angle ABC = 45^\circ$.

Источник: ЕГЭ 2021, досрочная волна

Окружность касается стороны $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ и делит каждую из сторон $AB$ и $BC$ на три равные части.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону $BC$.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Отрезок $AP$ — диаметр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

а) Докажите, что прямая $HP$ пересекает отрезок $BC$ в его середине.

б) Пусть $PH$ вторично пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точке $M$. Найдите длину отрезка $MC_1$, если расстояние от центра этой окружности до прямой $BC$ равно $4$, $\angle BPH = 120^\circ$.

Источник: ЕГЭ 2021, досрочная волна

Окружность с центром $O$, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $BC$ в точке $K$. К этой окружности проведена касательная, параллельная биссектрисе $AP$ треугольника и пересекающая стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что $\angle MOC = \angle NOK$.

б) Найдите периметр треугольника $ABC$, если отношение площадей трапеции $AMNP$ и треугольника $ABC$ равно $2 : 7$, $MN = 2$, $AM + PN = 6$.

Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 20$, $AC = 12$, $BC = 16$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно.

а) Докажите, что окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается одной из средних линий.

б) Найдите общую хорду окружностей, одна из которых вписана в треугольник $ABC$, а вторая описана около треугольника $AMN$.

Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной $D$ в точке $E$ и пересекает вторую сторону в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $B$ и $D$). В окружности проведён диаметр $AC$.

а) Докажите, что отрезок $BC$ вдвое больше отрезка $DE$.

б) Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AC$, если $AD = 4$ и $AB = 5$.

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C$. Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L$.

а) Докажите, что $CN : CM = LB : LA$.

б) Найдите $MN$, если $LB : LA = 2 : 3$, а радиус меньшей окружности равен $\sqrt{23}$.

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

В треугольник $ABC$ вписана окружность радиуса $R$, касающаяся стороны $AC$ в точке $M$, причём $AM = 5R$ и $CM = 1{,}5R$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что $R = 4$.

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, касающаяся катетов AC, BC и гипотенузы AB в точках M, E и K соответственно. EH – перпендикуляр из точки E на прямую MK.

а) Докажите, что EK ∥ CH.

б) Известно, что AC = 15, BC = 8. Найти отношение CH к EK.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C$. Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L$.

а) Докажите, что $CN : CM = LB : LA$.

б) Найдите длину хорды $MN$, если $LB : LA = 3 : 7$, а радиус меньшей окружности равен $\sqrt{17}$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен $34$, а $BC = 32$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен $10$, а $BC = 16$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C$. Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L$.

а) Докажите, что $CN : CM = LB : LA$.

б) Найдите $MN$, если $LB : LA = 2 : 3$, а радиус меньшей окружности равен $\sqrt{23}$.

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а окружность, описанную около треугольника $ABC$, — в точке $M$.

а) Докажите, что треугольник $BMC$ равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KMC$, если $AC = 3$, $BC = 8$, $AB = 9$.