Тип 18 № 20964

Решение:

а) По свойству вписанных углов $\angle CAK = \angle ABM$, $\angle BAK = \angle KBM$. Так как по условию $\angle CAK = \angle BAK$.

Откуда:

$$\angle MCB = \angle MBC$$

Значит, треугольник $BMC$ -- равнобедренный, что и требовалось доказать.

б)

Найдём радиус описанной около треугольника $KMC$ окружности через теорему синусов. Для этого найдём $KC$ и синус угла $KMC$.

По свойству биссектрисы в треугольнике $ABC$:

$$\frac{BK}{KC} = \frac{BA}{AC} = \frac{9}{3} = 3.$$

Откуда:

$$\frac{BC - KC}{KC} = 3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{8}{KC} - 1 = 3 \quad\Longrightarrow\quad KC = 2,\qquad BK = 6.$$

Углы $ABC$ и $AMC$ равны, так как опираются на одну дугу $AC$.

Так как в треугольнике $ABC$ нам известны все стороны, найдём косинус угла $ABC$ по теореме косинусов:

$$AC^2 = BC^2 + AB^2 - 2\cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC.$$

Подставим значения:

$$3^2 = 8^2 + 9^2 - 2\cdot 8 \cdot 9 \cdot \cos \angle ABC,$$ $$9 = 64 + 81 - 144\cos \angle ABC,$$ $$144\cos \angle ABC = 136,$$ $$\cos \angle ABC = \frac{136}{144} = \frac{17}{18}.$$

Откуда

$$\sin \angle ABC = \sin \angle AMC = \sqrt{1 - \left(\frac{17}{18}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{289}{324}} = \sqrt{\frac{35}{324}} = \frac{\sqrt{35}}{18}.$$

Найдём радиус окружности, описанной около треугольника $KMC$:

$$R = \frac{KC}{2\sin \angle AMC} = \frac{2}{2\cdot \frac{\sqrt{35}}{18}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{35}}{9}} = \frac{18}{\sqrt{35}} = \frac{18\sqrt{35}}{35}.$$

Ответ: $\dfrac{18\sqrt{35}}{35}$.