Планиметрическая задача

Точка $M$ — середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$.

a) Докажите, что $\angle CAN =\angle CMN$.

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\tg\angle BAC = \dfrac{4}{3}$.

Источник: ЕГЭ 2017, досрочная волна

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. На катете $AC$ взята точка $M$. Окружность с центром $O$ и диаметром $CM$ касается гипотенузы в точке $N$.

a) Докажите, что прямые $MN$ и $BO$ параллельны.

б) Найдите площадь четырехугольника $BOMN$, если $CN=8, AM:MC =1 :3$.

Источник: А.Ларин. Тренировочный вариант 329

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.

б) Найдите длину стороны $BC$ и радиус описанной окружности, если $B_1C_1 = 5$, $\angle A = 30^\circ$, а площадь треугольника $AB_1C_1$ в пять раз меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle BCA = 45^\circ$.

а) Докажите, что $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_1H$, если $BC = 2\sqrt{3}$.

Источник: ЕГЭ 2017, досрочная волна

В треугольник $ABC$, в котором длина стороны $AC$ меньше длины стороны $BC$, вписана окружность с центром $O$. Точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно $CO$.

а) Докажите, что $A$, $B$, $O$ и $B_1$ лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь четырёхугольника $AOBB_1$, если $AB = 10$, $AC = 6$ и $BC=8$.

Источник: ЕГЭ 2017, резервная волна

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

а) Докажите, что $AH = AO$.

б) Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC = \sqrt{15}$, $\angle ABC = 45^\circ$.

Источник: ЕГЭ 2021, досрочная волна

Окружность касается стороны $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ и делит каждую из сторон $AB$ и $BC$ на три равные части.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону $BC$.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Высоты $BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Отрезок $AP$ — диаметр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

а) Докажите, что прямая $HP$ пересекает отрезок $BC$ в его середине.

б) Пусть $PH$ вторично пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точке $M$. Найдите длину отрезка $MC_1$, если расстояние от центра этой окружности до прямой $BC$ равно $4$, $\angle BPH = 120^\circ$.

Источник: ЕГЭ 2021, досрочная волна

Окружность с центром $O$, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $BC$ в точке $K$. К этой окружности проведена касательная, параллельная биссектрисе $AP$ треугольника и пересекающая стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что $\angle MOC = \angle NOK$.

б) Найдите периметр треугольника $ABC$, если отношение площадей трапеции $AMNP$ и треугольника $ABC$ равно $2 : 7$, $MN = 2$, $AM + PN = 6$.

Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 20$, $AC = 12$, $BC = 16$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно.

а) Докажите, что окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается одной из средних линий.

б) Найдите общую хорду окружностей, одна из которых вписана в треугольник $ABC$, а вторая описана около треугольника $AMN$.

Окружность касается одной из сторон прямого угла с вершиной $D$ в точке $E$ и пересекает вторую сторону в точках $A$ и $B$ (точка $A$ лежит между $B$ и $D$). В окружности проведён диаметр $AC$.

а) Докажите, что отрезок $BC$ вдвое больше отрезка $DE$.

б) Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AC$, если $AD = 4$ и $AB = 5$.

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C$. Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L$.

а) Докажите, что $CN : CM = LB : LA$.

б) Найдите $MN$, если $LB : LA = 2 : 3$, а радиус меньшей окружности равен $\sqrt{23}$.

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

На боковой стороне $CD$ трапеции $ABCD$ отмечена точка $M$, которая является серединой этой стороны.

а) Докажите, что $S_{ABM} = \dfrac{1}{2}S_{ABCD}$.

б) На стороне $CD$ отмечена точка $K$ такая, что $S_{BKC} = \dfrac{1}{2}S_{AKD}$, причём $AD = 2BC$. Расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ равно 10. Найдите расстояние от точки $K$ до стороны $AB$.

Источник: ЕГЭ 2020, основная волна

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$. На боковой стороне $AB$ и большем основании $AD$ взяты соответственно точки $F$ и $E$ так, что $EF$ параллельна $CD$, а $FC = ED$.

а) Докажите, что угол $\angle BCF$ равен углу $\angle AFE$.

б) Найдите площадь трапеции $ABCD$, если $DE = 5BF$, $FE = 8$ и площадь трапеции $FCDE$ равна $\dfrac{27}{11}$.

Источник: ЕГЭ 2022, досрочная волна

В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина основания $AD$, точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. Отрезки $CE$ и $DM$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника $AMOE$ и треугольника $COD$ равны.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника $AMOE$, если $BC = 3$, $AD = 4$.

Источник: ЕГЭ 2016, основная волна

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. На стороне $AB$ как на диаметре построена окружность с центром в точке $O$, касающаяся стороны $CD$ и повторно пересекающая основание $AD$ в точке $H$. Точка $Q$ — середина стороны $CD$.

а) Докажите, что $OQDH$ — параллелограмм.

б) Найдите $AD$, если $\angle BAD = 60^\circ$, $BC = 2$.

Источник: ЕГЭ 2015, досрочная волна

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$.

а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых втрое больше другого.

б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD$. Найдите расстояние от вершины $C$ до середины отрезка $OD$, если $BC = 16$ и $AB = 10$.

Источник: А.Ларин, Тренировочный вариант 210

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD = 2BC$ и точка $M$ внутри трапеции, такая, что $\angle ABM = \angle DCM = 90^\circ$.

а) Докажите, что $AM = DM$.

б) Найдите угол $BAD$, если угол $CDA$ равен $50^\circ$, а высота, проведённая из точки $M$ к $AD$, равна $BC$.

Источник: ЕГЭ 2017

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ (отличных от концов отрезков).

а) Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB = 21$, $BC = 4$, $CD = 20$, $AD = 17$.

Источник: ЕГЭ 2019, досрочная волна

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ (отличных от концов отрезков).

а) Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $MPQ$, если прямая $DP$ перпендикулярна прямой $PC$, $AB = 25$, $BC = 3$, $CD = 28$, $AD = 20$.

Источник: ЕГЭ 2019, досрочная волна

Известно, что $ABCD$ — трапеция, $AD = 2BC$, $AD$, $BC$ — основания. Точка $M$ такова, что $ABM$ и $MCD$ — прямые.

а) Докажите, что $MA = MD$.

б) Расстояние от $M$ до $AD$ равно $BC$, а угол $ADC$ равен $55^\circ$. Найдите угол $BAD$.

Источник: ЕГЭ 2017

В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точке $C$ и $M$.

а) Докажите, что угол $BAM$ равен углу $CAD$.

б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если $AB = 6$, а $BC = 4BM$.

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

Дана трапеция с диагоналями, равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите площадь трапеции.

Источник: ЕГЭ 2017

В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$.

а) Докажите, что $\sin \angle AOD = \sin \angle BOC$.

б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD = 90^\circ$, а основания равны 5 и 7.

Источник: ЕГЭ 2017, основная волна

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O$. Через эту точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и пересекающая её боковые стороны.

а) Докажите, что длина отрезка этой прямой с концами на боковых сторонах трапеции равна её боковой стороне.

б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если $AO = OC$ и данная прямая делит $AB$ в отношении $2:3$, считая от точки $A$.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$. На боковой стороне $AB$ и большем основании $AD$ взяты соответственно точки $F$ и $E$ так, что $FE$ параллельно $CD$ и $CF = ED$.

а) Докажите, что $\angle AFE = \angle BCF$.

б) Найдите площадь трапеции $ABCD$, если $ED = 3BF$, $FE = 5$ и площадь трапеции $CDEF$ равна $14\sqrt{35}$.

Источник: ЕГЭ 2022, досрочная волна

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3$, $BC = DE = 4$.

а) Докажите, что $AC = CE$.

б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD = 6$.

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна

Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ известны стороны и диагональ: $AB = 3$, $BC = CD = 5$, $AD = 8$, $AC = 7$.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите $BD$.

Источник: ЕГЭ 2018, досрочная волна

Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$, перпендикулярна диагонали $AC$ и пересекает сторону $AD$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.

а) Докажите, что $BM$ и $BD$ делят угол $B$ на три равных угла.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$ до прямой $CM$, если $BC = 6\sqrt{21}$.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике $ABC$ на продолжение боковой стороны $BC$ опущена высота $AH$. Из точки $H$ на сторону $AB$ и основание $AC$ опущены перпендикуляры $HK$ и $HM$ соответственно.

а) Докажите, что отрезки $AM$ и $MK$ равны.

б) Найдите $MK$, если $AB=5, AC=8$.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант №394