Трапеции

Дана трапеция $ABCD$ с боковой стороной $AB$, которая перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опущен перпендикуляр $AH$. На стороне $AB$ взята точка $E$ так, что прямые $CE$ и $CD$ перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые $BH$ и $ED$ параллельны.

б) Найдите отношение $BH$ к $ED$, если $\angle BCD = 135^\circ$.

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна

В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ углы $ABD$ и $ACD$ прямые.

а) Докажите, что $AB = CD$.

б) Найдите $AD$, если $AB = 2$, $BC = 7$.

Источник: ЕГЭ 2018, основная волна

Дана равнобедренная трапеция, в которой $AD = 3BC$, $CM$ — высота трапеции.

а) Докажите, что $M$ делит $AD$ в отношении $2 : 1$.

б) Найдите расстояние от точки $C$ до середины $BD$, если $AD = 18$, $AC = 4\sqrt{13}$.

Источник: ЕГЭ 2017

На боковой стороне $CD$ трапеции $ABCD$ отмечена точка $M$, которая является серединой этой стороны.

а) Докажите, что $S_{ABM} = \dfrac{1}{2}S_{ABCD}$.

б) На стороне $CD$ отмечена точка $K$ такая, что $S_{BKC} = \dfrac{1}{2}S_{AKD}$, причём $AD = 2BC$. Расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ равно 10. Найдите расстояние от точки $K$ до стороны $AB$.

Источник: ЕГЭ 2020, основная волна

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$. На боковой стороне $AB$ и большем основании $AD$ взяты соответственно точки $F$ и $E$ так, что $EF$ параллельна $CD$, а $FC = ED$.

а) Докажите, что угол $\angle BCF$ равен углу $\angle AFE$.

б) Найдите площадь трапеции $ABCD$, если $DE = 5BF$, $FE = 8$ и площадь трапеции $FCDE$ равна $\dfrac{27}{11}$.

Источник: ЕГЭ 2022, досрочная волна

В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина основания $AD$, точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. Отрезки $CE$ и $DM$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника $AMOE$ и треугольника $COD$ равны.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника $AMOE$, если $BC = 3$, $AD = 4$.

Источник: ЕГЭ 2016, основная волна

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. На стороне $AB$ как на диаметре построена окружность с центром в точке $O$, касающаяся стороны $CD$ и повторно пересекающая основание $AD$ в точке $H$. Точка $Q$ — середина стороны $CD$.

а) Докажите, что $OQDH$ — параллелограмм.

б) Найдите $AD$, если $\angle BAD = 60^\circ$, $BC = 2$.

Источник: ЕГЭ 2015, досрочная волна

В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$.

а) Докажите, что высота $CH$ трапеции разбивает основание $AD$ на отрезки, один из которых втрое больше другого.

б) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD$. Найдите расстояние от вершины $C$ до середины отрезка $OD$, если $BC = 16$ и $AB = 10$.

Источник: А.Ларин, Тренировочный вариант 210

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD = 2BC$ и точка $M$ внутри трапеции, такая, что $\angle ABM = \angle DCM = 90^\circ$.

а) Докажите, что $AM = DM$.

б) Найдите угол $BAD$, если угол $CDA$ равен $50^\circ$, а высота, проведённая из точки $M$ к $AD$, равна $BC$.

Источник: ЕГЭ 2017

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ (отличных от концов отрезков).

а) Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB = 21$, $BC = 4$, $CD = 20$, $AD = 17$.

Источник: ЕГЭ 2019, досрочная волна

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ (отличных от концов отрезков).

а) Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $MPQ$, если прямая $DP$ перпендикулярна прямой $PC$, $AB = 25$, $BC = 3$, $CD = 28$, $AD = 20$.

Источник: ЕГЭ 2019, досрочная волна

Известно, что $ABCD$ — трапеция, $AD = 2BC$, $AD$, $BC$ — основания. Точка $M$ такова, что $ABM$ и $MCD$ — прямые.

а) Докажите, что $MA = MD$.

б) Расстояние от $M$ до $AD$ равно $BC$, а угол $ADC$ равен $55^\circ$. Найдите угол $BAD$.

Источник: ЕГЭ 2017

В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точке $C$ и $M$.

а) Докажите, что угол $BAM$ равен углу $CAD$.

б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если $AB = 6$, а $BC = 4BM$.

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

Дана трапеция с диагоналями, равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите площадь трапеции.

Источник: ЕГЭ 2017

В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$.

а) Докажите, что $\sin \angle AOD = \sin \angle BOC$.

б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD = 90^\circ$, а основания равны 5 и 7.

Источник: ЕГЭ 2017, основная волна

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O$. Через эту точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и пересекающая её боковые стороны.

а) Докажите, что длина отрезка этой прямой с концами на боковых сторонах трапеции равна её боковой стороне.

б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если $AO = OC$ и данная прямая делит $AB$ в отношении $2:3$, считая от точки $A$.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$. На боковой стороне $AB$ и большем основании $AD$ взяты соответственно точки $F$ и $E$ так, что $FE$ параллельно $CD$ и $CF = ED$.

а) Докажите, что $\angle AFE = \angle BCF$.

б) Найдите площадь трапеции $ABCD$, если $ED = 3BF$, $FE = 5$ и площадь трапеции $CDEF$ равна $14\sqrt{35}$.

Источник: ЕГЭ 2022, досрочная волна

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3$, $BC = DE = 4$.

а) Докажите, что $AC = CE$.

б) Найдите длину диагонали $BE$, если $AD = 6$.

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна

В трапеции ABCD точка E— середина основания AD, точка M— середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.

а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC=3, AD=4.

Источник: ЕГЭ 2016, основная волна

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ отмечены на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно. Известно, что $AM = MO$, $CN = NO$.

а) Докажите, что точки $M$, $N$ и $O$ лежат на одной прямой.

б) Найдите $AM :MB$, если известно, что $AO = OC$ и $BC :AD = 1:7$.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна.

Дана трапеция с диагоналями, равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.