Тип 18 № 16184

a) Пусть $CH_2=h$ - высота треугольника $ECD$. Так как $M$ - середина $AB$, то $MH_1=\frac{h}{2}$ - высота треугольника $AMD$. Тогда: $$S_{AMD}=\frac{1}{2}AD\cdot MH_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{h}{2}\cdot 2ED=S_{ECD}$$ Следовательно: $$S_{AMOE}=S_{AMD}-S_{OED}=S_{ECD}-S_{OED=S_{COD}}$$

Что и требовалось доказать

б) Пусть прямые ВС и MD пересекаются в точке G. Тогда $\angle GBM = \angle MAD$ как накрест лежащие при параллельных прямых $GC$ и $AD$ и секущей $AB$

$\angle BMG = \angle AMD$ как вертикальные, а $AM = BM$. Значит $\triangle AMD=\triangle BMG$ откуда $BG = AD = 4$.

Рассмотрим треугольники $GOC$ и $DOE$:

1. $\angle KOC=\angle DOE$ как вертикальные

2. $\angle OED = \angle OCG $ как накрест лежащие при параллельных прямых $GС$ и $AD$ и секущей $CE$

Значит $\triangle GOC \sim \triangle DOE$ по двум углам. Составим пропорцию. $$\frac{OE}{OC}=\frac{ED}{CG}=\frac{2}{7}$$

Тогда: $$S_{AMOE}=S_{COD}=\frac{7}{9}\cdot \frac{1}{2}h\cdot 2=\frac{2\cdot 7h}{9\cdot 2}=\frac{2}{9}S_{ABCD}$$

Ответ: б) $\frac{2}{9}$